Serinin yakınsak olduğunu nasıl ispatlayabilirim?

Cevap:

Doğrudan Karşılaştırma Testi ile yakınsaklaşır.

Açıklama:

Doğrudan Karşılaştırma Testini, elimizden geldiğince kullanabiliriz.

#sum_ (n = 1) ^ oocos (1 / k) / (9k ^ 2) #, IE, seri bir başlar.

Doğrudan Karşılaştırma Testini kullanmak için bunu kanıtlamamız gerekir. # A_k = (1 / k) / (9k ^ 2) # cos olumlu # 1, oo) #.

İlk önce, aralıkta olduğuna dikkat edin. # 1, oo), çünkü (1 / k) # olumlu. Değerleri için # x # Cosx # birinci kadranda (ve dolayısıyla olumlu). Peki, için #k> = 1, 1 / k yani, #cos (/ k 1) # gerçekten olumlu.

Ayrıca söyleyebiliriz #cos (1 / k) <= 1 #, gibi #lim_ (k> oo) cos (1 / k) = cos (0) = 1 #.

O zaman yeni bir dizi tanımlayabiliriz

# B_k = 1 / (9k ^ 2)> = a_k # hepsi için # K. #

İyi, #sum_ (k = 1) ^ oo1 / (9k ^ 2) = 1 / 9sum_ (k = 1) ^ oo1 / K ^ 2 #

Bunun yaklaştığını biliyoruz. # P #seri testi, formda # Sum1 / k ^ p # nerede # P = 2> 1 #.

Sonra, daha büyük seri birleştiğinden, bu yüzden daha küçük seri gerekir.

Cevap:

Doğrudan karşılaştırma testi ile birleşir (detaylar için aşağıya bakınız).

Açıklama:

Kosinüs aralığının -1,1 olduğunu kabul edin. Grafiğini göz atın #cos (1 / X) #:

grafik {cos (1 / x) -10, 10, -5, 5}

Gördüğünüz gibi maksimum Bunun elde edeceği değer 1 olacaktır. Burada sadece yakınsamayı kanıtlamaya çalıştığımızdan, payını 1'e ayarlayalım:

# Sum1 / (9k ^ 2) #

Şimdi, bu çok basit bir doğrudan karşılaştırma testi problemi haline geldi. Doğrudan karşılaştırma testinin ne yaptığını hatırlayın:

Keyfi bir dizi düşünün # A_n # (Birleşiyor mu / ayrılıyor mu bilmiyoruz) ve birleşim / ayrışmayı bildiğimiz bir dizi, # B_n #:

Eğer #b_n> a_n # ve # B_n # yakınsak sonra # A_n # ayrıca yakınlaşır.

Eğer #b_n <a_n # ve # B_n # diverges, sonra # A_n # ayrıca ayrışır.

Bu işlevi şununla karşılaştırabiliriz: #b_n = 1 / k ^ 2 #. Bunu yapabiliriz çünkü birleştiğini biliyoruz (p-testi nedeniyle).

Yani, beri # 1 / k ^ 2> 1 / (9k ^ 2) #, ve # 1 / k ^ 2 # yakınsak, diyebiliriz ki seri yakınsaklığı

Ancak, bekleyin, sadece bu dizinin pay = 1 olduğunda yakınsama yaptığını kanıtladık. #cos (/ k 1) # alabilir? Unutma ki 1 maksimum payın alabileceği değeri. Bu nedenle, bu yakınsama olduğunu kanıtladığımızdan, dolaylı olarak bu serinin paydaki herhangi bir değer için yakınlaştığını kanıtladık.

Yardımcı oldu umarım:)

Geometrik bir serinin r _ ("th") terimi (2r + 1) cdot 2 ^ r'dir. Serinin ilk n teriminin toplamı nedir?

(4n-2) * 2 ^ n + 3 S = sum_ {r = 0} ^ n 2r * 2 ^ r + sum_ {r = 0} ^ n2 ^ r S = sum_ {r = 1} ^ nr * 2 ^ (r + 1) + (1 - 2 ^ {n + 1}) / (1 - 2) S = a_ {01} (1 - 2 ^ n) / (1- 2) + ... + a_ { 0n} (1 - 2 ^ {n- (n-1)}) / (1- 2) + 2 ^ {n + 1} - 1 1 * 2 ^ 2 + 1 * 2 ^ 3 + 1 * 2 ^ 4 + 1 * 2 ^ 3 + 1 * 2 ^ 4 + 1 * 2 ^ 4 S = sum_ {i = 0} ^ {n-1} 2 ^ {i + 2} (2 ^ (n - i) - 1) + 2 ^ {n + 1} - 1 S = 4 sum_ {i = 0} ^ {n-1} (2 ^ n - 2 ^ i) + 2 ^ {n + 1} - 1 S = 4 * 2 ^ n * n - 4 * (2 ^ n - 1) + 2 ^ {n + 1} - 1 S = (4n-2) * 2 ^ n + 3 S = 1 * 2 ^ 0 + 3 * 2 ^ doğrulayalım 1 + 5 * 2 ^ 2 + 7 * 2 ^ 3 + cdots S = 1 + 6 + 20 + 56 + cdots S (0) = 1 =

5 - 5cos ^ 2 x = 5sin ^ 2 x olduğunu nasıl ispatlayabilirim?

LHS = 5-5cos ^ 2x = 5 (1-cos ^ 2x) = 5sin ^ 2x = RHS Not ki günah ^ 2x + cos ^ 2x = 1

ABC üçgeninde AD, BC'ye dik olarak çizilir. AB ^ 2 - BD ^ 2 = AC ^ 2 - CD ^ 2 olduğunu nasıl ispatlayabilirim?

Lütfen aşağıya bakın. RTADADC'de, rarrAD ^ 2 = AC ^ 2-CD ^ 2 ..... [1] RTADADB'de, rarrAD ^ 2 = AB ^ 2-BD ^ 2 ..... [2] [1] ve [2] 'den AC ^ 2-CD ^ 2 = AB ^ 2-BD ^ 2 Kanıtlandı