Serinin yakınsak olduğunu nasıl ispatlayabilirim?

Cevap:

Doğrudan Karşılaştırma Testi ile yakınsaklaşır.

Açıklama:

Doğrudan Karşılaştırma Testini, elimizden geldiğince kullanabiliriz.

#sum_ (n = 1) ^ oocos (1 / k) / (9k ^ 2) #, IE, seri bir başlar.

Doğrudan Karşılaştırma Testini kullanmak için bunu kanıtlamamız gerekir. # A_k = (1 / k) / (9k ^ 2) # cos olumlu # 1, oo) #.

İlk önce, aralıkta olduğuna dikkat edin. # 1, oo), çünkü (1 / k) # olumlu. Değerleri için # x # Cosx # birinci kadranda (ve dolayısıyla olumlu). Peki, için #k> = 1, 1 / k yani, #cos (/ k 1) # gerçekten olumlu.

Ayrıca söyleyebiliriz #cos (1 / k) <= 1 #, gibi #lim_ (k> oo) cos (1 / k) = cos (0) = 1 #.

O zaman yeni bir dizi tanımlayabiliriz

# B_k = 1 / (9k ^ 2)> = a_k # hepsi için # K. #

İyi, #sum_ (k = 1) ^ oo1 / (9k ^ 2) = 1 / 9sum_ (k = 1) ^ oo1 / K ^ 2 #

Bunun yaklaştığını biliyoruz. # P #seri testi, formda # Sum1 / k ^ p # nerede # P = 2> 1 #.

Sonra, daha büyük seri birleştiğinden, bu yüzden daha küçük seri gerekir.

Cevap:

Doğrudan karşılaştırma testi ile birleşir (detaylar için aşağıya bakınız).

Açıklama:

Kosinüs aralığının -1,1 olduğunu kabul edin. Grafiğini göz atın #cos (1 / X) #:

grafik {cos (1 / x) -10, 10, -5, 5}

Gördüğünüz gibi maksimum Bunun elde edeceği değer 1 olacaktır. Burada sadece yakınsamayı kanıtlamaya çalıştığımızdan, payını 1'e ayarlayalım:

# Sum1 / (9k ^ 2) #

Şimdi, bu çok basit bir doğrudan karşılaştırma testi problemi haline geldi. Doğrudan karşılaştırma testinin ne yaptığını hatırlayın:

Keyfi bir dizi düşünün # A_n # (Birleşiyor mu / ayrılıyor mu bilmiyoruz) ve birleşim / ayrışmayı bildiğimiz bir dizi, # B_n #:

Eğer #b_n> a_n # ve # B_n # yakınsak sonra # A_n # ayrıca yakınlaşır.

Eğer #b_n <a_n # ve # B_n # diverges, sonra # A_n # ayrıca ayrışır.

Bu işlevi şununla karşılaştırabiliriz: #b_n = 1 / k ^ 2 #. Bunu yapabiliriz çünkü birleştiğini biliyoruz (p-testi nedeniyle).

Yani, beri # 1 / k ^ 2> 1 / (9k ^ 2) #, ve # 1 / k ^ 2 # yakınsak, diyebiliriz ki seri yakınsaklığı

Ancak, bekleyin, sadece bu dizinin pay = 1 olduğunda yakınsama yaptığını kanıtladık. #cos (/ k 1) # alabilir? Unutma ki 1 maksimum payın alabileceği değeri. Bu nedenle, bu yakınsama olduğunu kanıtladığımızdan, dolaylı olarak bu serinin paydaki herhangi bir değer için yakınlaştığını kanıtladık.

Yardımcı oldu umarım:)