Y = f (x) verilir.Grafik, y = f (3x) -2 ve y = -f (x-1)?

Cevap:

Kullanışlı grafik kağıdınız yok - umarım açıklamanın yardımı olur!

Açıklama:

İçin • y = f (3x) -2 # ilk sıkmak boyunca verilen grafik # X # Eksen 3 faktörü (en az sol elin diyelim ki #, X = -2/3 #) ve ardından tüm grafiği it aşağı 2 birim tarafından. Böylece yeni grafikte minimum olacak #x = -2 / 3 # değeri olan # y = -2 #, en fazla #(0,0)# ve bir başka minimum #(4/3, -4)#

İçin • y = f (x-1) # önce grafiği 1 birimine kaydırın sağ, sonra ters çevirin! Yani, yeni grafik iki hak edecek maxima en #(-1,0)# ve #(5,2)# ve en az #(1,-2) #

Cevap:

İşte daha ayrıntılı bir açıklama

Açıklama:

Sorunlar, daha genel bir sorunun özel durumlarıdır:

İçin verilen grafik • y = f (x) #, grafik nedir #y = a f (b x + c) + d # ?

(birincisi # a = 1, b = 3, c = 0, d = -2 #ikincisi ise # a = -1, b = 1, c = -1, d = 0 #)

Sorunu her seferinde bir adım çözerek, adım adım cevabı açıklamaya çalışacağım. Bu oldukça uzun bir cevap olacak - ama umarım genel ilke sonunda netleşir.

Gösterim için aşağıda gösterdiğim belirli bir eğri kullanacağım, ancak fikir genel olarak işe yarayacak.

(Herhangi biri ilgileniyorsa, burada çizilen işlev #f (x) = exp (- {(x-1) ^ 2} / 2) #

1) için verilen grafik • y = f (x) #, grafik nedir #y = f (x) + d # ?

Bu kolay, tek yapmanız gereken not: # (X, y) # ilk grafikte bir nokta # (X, y + d) ikinci bir nokta. Bu, ikinci grafiğin bir mesafeden birinciden daha yüksek olduğu anlamına gelir # D # (tabi eğer # D # negatif, ilk grafikten daha düşük # | D | #).

Yani, grafik • y = f (x) + 1 # olacak

Gördüğünüz gibi, grafik #y = f (x) + 1 # (koyu mor çizgi) sadece grafik için iterek elde edilir • y = f (x) # (gri kesikli çizgi) yukarı bir birim tarafından.

İçin grafik • y = f (x) -1 # Orijinal grafiğe basılarak bulunabilir aşağı bir birim tarafından:

2) için verilen grafik • y = f (x) #, grafik nedir #y = f (x + c) # ?

Eğer görmek kolaydır # (X, y) # bir nokta • y = f (x) # o zaman grafik # (X-c, y), # bir nokta olacak #y = f (x + c) # grafiktir. Bu, grafiğini alabileceğiniz anlamına gelir. #y = f (x + c) # grafiğinden #y = f (x) # basitçe ayrıldı tarafından # C # (tabi eğer # C # negatifse, orijinal grafiği # | C | # sağa.

Örnek olarak, grafik • y = f (x + 1) # orijinal grafiği iterek ayrıldı bir birim tarafından:

bunun için • y = f (x-1) # orijinal grafiği iterek sağ bir birim tarafından:

3) için verilen grafik • y = f (x) #, grafik nedir #y = f (bx) # ?

Dan beri #f (x) = f (b çarpı x / b) # eğer öyleyse # (X, y) # bir nokta #y = f (x) # o zaman grafik # (x / b, y) # bir nokta • y = f (bx) # grafiktir.

Bu, orijinal grafiğin olması gerektiği anlamına gelir sıkılmış faktörü ile # B # boyunca # X # eksen. Tabii ki, tarafından sıkma # B # gerçekten bir germe tarafından # 1 / b # nerede için # 0 <b <1 #

İçin grafik • y = f (2x) # olduğu

Yüksekliğin 1'de aynı kalmasına rağmen, genişliğin 2 kat kadar küçüldüğünü unutmayın. Özellikle, orijinal eğrinin tepe noktası kaymıştır. #, X = 1 # için #, X = 1/2 #.

Öte yandan, grafik • y = f (x / 2) # olduğu

Bu grafiğin iki katı genişliğinde olduğuna dikkat edin (#1/2# 2) faktörü ile germekle aynıdır ve tepe noktası da #, X = 1 # için #, X = 2 #.

Özel durumdan bahsetmek gerekir. # B # negatif. Bunu belki de iki aşamalı bir süreç olarak düşünmek en iyisidir

• İlk grafiğini bulmak • y = f (= X) #, ve sonra
• sonuçtaki grafiği sıkmak # B | #

Her nokta için # (X, y) # Orijinal grafiğin, nokta # (- x, y) # grafikte bir nokta • y = f (X) # - Böylece yeni grafik, eskisinin hakkındaki bilgileri yansıtarak bulunabilir. # Y # eksen.

İki aşamalı sürecin bir örneği olarak, • y = f (2x) # aşağıda gösterilen:

İşte orijinal eğri, bunun için • y = f (x) # ilk hakkında çevrilmiş # Y # için eğri almak için eksen • y = f (X) # (ince mavi çizgi). Bu daha sonra bir faktör tarafından sıkılır #2# eğrisini almak • y = f (2x) # - kalın mor eğri.

4) için verilen grafik • y = f (x) #, grafik nedir #y = af (x) # ?

Desen burada aynı - eğer # (X, y) # orijinal eğri üzerinde bir nokta # (X, ay) # grafikte bir nokta • y = af (x) #

Bunun anlamı olumlu # Bir #, grafik bir faktör tarafından gerilir # Bir # boyunca # Y # eksen. Yine, bir değer # Bir # 0 ile 1 arasında, gerilmek yerine, eğrinin aslında bir faktör tarafından sıkılacağı anlamına gelir. #1 A# boyunca # Y # eksen.

Aşağıdaki eğri içindir # y = 2f (x) #

En yüksek değerin aynı değerde olduğunu unutmayın. # X # - yüksekliği 1'den 2'ye iki katına çıkmıştır. Tabii ki yalnızca gerilmiş olan en yüksek nokta değildir. • y # Yeni eğriyi elde etmek için orijinal eğrinin her noktasının koordinatı iki katına çıkarıldı.

Aşağıdaki şekil, ne zaman meydana gelen sıkıştırmayı göstermektedir. #0<>

Bir kez daha, durum için #a <0 # özel özen gösterir - ve bunu iki adımda yaparsanız daha iyi olur

1. İlk önce eğri etrafında ters çevirin # X # için eğri almak için eksen • y = f (x) '#
2. Eğriyi uzat # | A | # boyunca # Y # eksen.

Eğrisi • y = f (x) '# olduğu

Aşağıdaki resim, eğrinin çizilmesinde yer alan iki adımı göstermektedir. #y = -2f (x) #

Hepsini bir araya koy

Şimdi bireysel adımlardan geçtikten sonra, hepsini bir araya koyalım! İçin eğrisi çizme prosedürü

# y = a f (bx + c) + d #

bundan başlayarak • y = f (x) # temelde aşağıdaki adımlardan oluşur

1. Eğrisini çiz • y = f (x + c) '#: grafiği bir mesafe kadar kaydır # C # sola
2. Sonra o arsa #y = f (bx + c) #: adım 1'den aldığınız eğriyi, # X # faktöre göre yön # B | #, (önce onu saygısız # Y # eğer eksen #b <0 #)
3. Ardından grafiğini çizin • y = af (bx + c) '#: adım 2'den aldığınız eğriyi faktör faktörü ile ölçeklendirin # Bir # dikey yönde.
4. Son olarak 3. adımda elde ettiğiniz eğriyi bir mesafeye kadar yukarı itin # D # nihai sonucu almak için.

Elbette dört adımı da yalnızca aşırı durumlarda gerçekleştirmeniz gerekiyor - genellikle daha az sayıda adım olacaktır! Ayrıca, adımların sırası önemlidir.

Merak ediyorsanız, bu adımlar eğer # (X, y) # bir nokta • y = f (x) # grafik, sonra nokta

# ({x-c} / b, ay + d) # üstünde • y = af (bx + c) + d # grafiktir.

Fonksiyonu ile süreci örnek olarak göstereyim #f (x) #. Grafiği oluşturmaya çalışalım. #y = -2f (2x + 3) + 1 #

İlk - 3 birim sola kayma

Ardından: 2 boyunca bir faktörle sıkın. # X # eksen

Ardından, grafiği yaklaşık olarak çevirmek # X # ekseni ve ardından boyunca 2 faktörü ile ölçeklendirme # Y #

Son olarak, eğriyi 1 birim yukarı kaydırmak - ve bitti!