Negatif sayının logaritması nedir?

Negatif sayıların logaritmaları gerçek sayılarda tanımlanmaz, aynı şekilde negatif sayıların karekökleri gerçek sayılarda tanımlanmaz. Negatif sayının günlüğünü bulmanız bekleniyorsa, çoğu durumda "tanımsız" yanıtı yeterlidir.

O olduğu birini değerlendirmek mümkün, ancak cevap karmaşık bir sayı olacaktır. (bir dizi form #a + bi #, nerede #i = sqrt (-1) #)

Karmaşık sayılara aşina iseniz ve onlarla çalışmaktan rahatsanız, okumaya devam edin.

İlk olarak, genel bir dava ile başlayalım:

#log_b (-x) =? #

Temel değişim kuralını kullanacağız ve daha sonra işleri kolaylaştırmak için doğal logaritmalara geçeceğiz:

#log_b (-x) = ln (-x) / lnb #

Bunu not et #ln (-x) # aynı şey #ln (-1 * x) #. Logaritma toplama özelliğinden faydalanabilir ve bu bölümü iki ayrı kütüğe ayırabiliriz:

#log_b (-x) = (lnx + ln (-1)) / lnb #

Şimdi tek sorun ne olduğunu bulmak #ln (-1) # olduğunu. İlk başta değerlendirmek imkansız bir şey gibi görünebilir, ancak Euler Kimliği olarak bilinen ve bize yardım edebilecek oldukça ünlü bir denklem var.

Euler kimliğini belirtir:

# e ^ (ipi) = -1 #

Bu sonuç, güçlü seri sinüs ve kosinüs serileridir. (Bunu derinlemesine anlatmayacağım, ama ilgileniyorsanız, burada biraz daha fazla açıklayan hoş bir sayfa var)

Şimdilik, Euler'in kimliğinin her iki tarafının doğal kütüğünü alalım:

#ln e ^ (ıpi) = ln (-1) #

Basitleştirilmiş:

#ipi = ln (-1) #

Yani, şimdi ne biliyoruz ki #ln (-1) # yani, denklemimize geri dönebiliriz:

#log_b (-x) = (lnx + ipi) / lnb #

Artık negatif sayıların kayıtlarını bulmak için bir formül var. Yani, bir şeyi değerlendirmek istiyorsak, # log_2 10 #, sadece birkaç değeri bağlayabiliriz:

# log_2 (-10) = (ln10 + ipi) / ln2 #

#approx 3.3219 + 4.5324i #