N'nin tek olması durumunda, ZZ'deki bazı k için n = 4k + 1, ZZ'deki bazı k için n = 4k + 3 olduğunu kanıtlayın.

İşte temel bir taslak:

önerme: Eğer # N # o zaman garip # N = 4k + 1 # bazı # ZZ'de # veya # N = 4k + 3 # bazı # ZZ'de #.

Kanıt: Bırak # ZZ'de # nerede # N # garip. bölmek # N # 4'e kadar.

Sonra, bölme algoritmasıyla, # R = 0,1,2, # veya #3# (Kalan).

Dava 1: R = 0 Kalan #0#, sonra # N = 4 k = 2 (2k) #.

#:. n # hatta

Durum 2: R = 1. Kalan #1#, sonra # N = 4k + 1 #.

#:. n # garip.

3. Durum: R = 2. Kalan #2#, sonra # N = + 2 = 2 4k (2k + 1) #.

#:. n # hatta.

4. DurumR = 3 Kalan #3#, sonra # N = 4k + 3 #.

#:. n # garip.

#:. n = 4k + 1 veya n = 4k + 3 # Eğer # N # garip