[2,9] 'daki f (x) = (9x ^ (1/3)) / (3x ^ 2-1)' in mutlak ekstremitesi nedir?

Cevap:

Mutlak minimum # (9 * root3 (9)) / 26 ##=0.7200290…# ne zaman olur #, X = 9 #.

Mutlak maksimum # (9 * root3 (2)) / 11 ##=1.030844495… # ne zaman olur #, X = 2 #.

Açıklama:

Bir fonksiyonun mutlak eksonu, verilen bir alandaki fonksiyonun en büyük ve en küçük y değerleridir. Bu etki alanı bize (bu problemde olduğu gibi) verilebilir ya da işlevin kendi alanı olabilir. Alan adı verdiğimizde bile, verdiğimiz alanın değerlerini dışlaması durumunda, fonksiyonun alanını göz önünde bulundurmalıyız.

#f (x) # üs içerir #1/3#, bir tam sayı değil. Neyse ki, etki alanı #p (x) root3 (x) # = olduğu # (- oo, oo) # yani bu gerçek bir sorun değil.

Ancak, paydanın sıfıra eşit olamayacağı gerçeğini düşünmemiz gerekir. Payda ne zaman sıfıra eşit olacak # x = + - (1/3) = + - (sqrt (3) / 3) #. Bu değerlerin hiçbiri verilen etki alanında değildir. #2,9#.

Böylece, mutlak ekstrema bulmaya dönüyoruz. #2,9#. Mutlak ekstrema, alanın uç noktalarında veya lokal ekstremada meydana gelir, yani fonksiyonun yön değiştirdiği noktalar. Yerel ekstrema, türevinin eşit olduğu bölgedeki noktalar olan kritik noktalarda meydana gelir. #0# veya yok. Bu yüzden türevi bulmalıyız. Bölüm kuralını kullanarak:

#f '(x) = ((3x ^ 2-1) * (1/3) (9x ^ (- 2/3)) - 9x ^ (1/3) * 6x) / (3x ^ 2-1) ^ 2 #

#f '(x) = ((3x ^ 2-1) * 3x ^ (- 2/3) -54x ^ (4/3)) / (3x ^ 2-1) ^ 2 #

#f '(x) = (9x ^ (4/3) -3x ^ (- 2/3) -54x ^ (4/3)) / (3x ^ 2-1) ^ 2 #

#f '(x) = (- 45x ^ (4/3) -3x ^ (- 2/3)) / (3x ^ 2-1) ^ 2 #

Eğer faktörü # -3x ^ (- 2/3) # pay dışında, biz:

#f '(x) = (- 3 (15x ^ 2 + 1)) / (x ^ (2/3) (3 x ^ 2-1) #

Değeri yok # X # üzerinde #2,9# nerede #f '(x) # mevcut değil. Ayrıca hiçbir değer yok #2,9# nerede #f '(x) = 0 #. Dolayısıyla, verilen etki alanında kritik bir nokta yoktur.

"Adaylar Testini" kullanarak, #f (x) # son noktalarda. #f (2) = (9 * root3 (2)) / (3 * 4-1) #=# (9 * root3 (2)) / 11 #

#f (9) = (9 * kök3 (9)) / (3 * 9-1) #=# (9 * root3 (9)) / 26 #

Hesap makinemize hızlı bir şekilde bakıldığında:

# (9 * root3 (2)) / 11 ##=1.030844495… # (mutlak maksimum)

# (9 * root3 (9)) / 26 ##=0.7200290…# (mutlak minimum)