Bu genel bir durumun trigonometrik bir kanıtı, soru detayları kutusunda mı?

Cevap:

İndüksiyonla kanıt aşağıdadır.

Açıklama:

Bu kimliği indüksiyon yaparak ispatlayalım.

A. için # N = 1 # bunu kontrol etmeliyiz

# (2cos (2theta) +1) / (2cos (theta) +1) = 2cos (theta) -1 #

Nitekim, kimlik kullanarak #cos (2teta) = 2cos ^ 2 (teta) -1 #bunu görüyoruz

# 2cos (2theta) +1 = 2 (2cos ^ 2 (theta) -1) +1 = 4cos ^ 2 (theta) -1 = #

# = (2cos (teta) -1) * (2cos (teta) + 1) #

bundan sonra

# (2cos (2theta) +1) / (2cos (theta) +1) = 2cos (theta) -1 #

İçin böylece # N = 1 # kimliğimiz gerçek.

B. Kimliğin için doğru olduğunu varsayalım. # N #

Yani, farz ediyoruz

# (2cos (2 ^ ntheta) +1) / (2cos (theta) +1) = Pi _ (0, n-1'de j) 2cos (2 ^ jtheta) -1 #

(sembol # Pi # ürün için kullanılır)

C. Yukarıdaki B varsayımını kullanarak, için kimliğini ispatlayalım. # N + 1 #

B varsayımından sonra geldiğini ispatlamalıyız.

# (2cos (2 ^ (n + 1) theta) +1) / (2cos (theta) +1) = Pi _ (j 0, n 'da) 2cos (2 ^ jtheta) -1 #

(çarpım indeksi için doğru sınırın # N # şimdi).

KANIT

Bir kimlik kullanmak #cos (2x) = 2cos ^ 2 (x) -1 # için #, X = 2 ^ ntheta #, # 2cos (2 ^ (n + 1) teta) +1 = 2cos (2 * (2 ^ n * teta)) + 1 = #

# = 2 2cos ^ 2 (2 ^ ntheta) -1 +1 = #

# = 4cos ^ 2 (2 ^ ntheta) -1 = #

# = 2cos (2 ^ ntheta) -1 * 2cos (2 ^ ntheta) +1 #

Başlatan ve biten ifadeleri ile bölün # 2cos (teta) + 1 #, elde

# 2cos (2 ^ (n + 1) teta) +1 / 2cos (theta) +1 = #

# = 2cos (2 ^ ntheta) -1 * 2cos (2 ^ ntheta) +1 / 2cos (teta) +1 #

Şimdi B varsayımını kullanıyoruz.

# 2cos (2 ^ (n + 1) teta) +1 / 2cos (theta) +1 = #

# = 2cos (2 ^ ntheta) -1 * Pi _ (j 0, n-1 'de) 2cos (2 ^ jtheta) -1 = #

# = Pi _ (0, n 'da j) 2cos (2 ^ jtheta) -1 #

(şimdi bir dizinin aralığının genişletildiğini # N #).

Son formül tam olarak aynı # N + 1 # orijinal olduğu gibi # N #. Bu bizim formülümüzün herhangi biri için doğru olduğunu indüksiyon yaparak ispat eder. # N #.

Cevap:

Aşağıdaki Açıklama Bölümündeki Kanıt'a bakın.

Açıklama:

Bu kanıtlamak için eşdeğerdir, # (2cosx + 1) (2cosx-1) (2cos2x-1) (2cos4x-1) … (2cos2 ^ (n-1) x-1) = (2cos2 ^ nx + 1) #

# "L.H.S." = {(2cosx + 1) (2cosx-1)} (2cos2x-1) (2cos4x-1) … (2cos2 ^ (n-1) x-1) #

# = {4cos ^ 2x-1} (2cos2x-1) (2cos4x-1) … (2cos2 ^ (n-1) x-1) #

# = {4 ((1 + cos2x) / 2) -1} (2cos2x-1) (2cos4x-1) …. (2cos2 ^ (n-1) x-1) #

# = (2cos2x + 1) (2cos2x-1) (2cos4x-1) … (2cos2 ^ (n-1) x-1) #

# = (4cos ^ 2 (2x) -1) (2cos4x-1) … (2cos2 ^ (n-1) x-1) #

# = (2cos (2 x 2 x) 1) (2cos4x-1) … (2cos2 ^ (n-1) x-1) #

# = (2cos4x + 1) (2cos4x-1) … (2cos2 ^ (n-1) x-1) #

# = (2cos8x + 1) … (2cos2 ^ (n-1) x-1) #

# Vdots #

# = {2cos (2 x 2 ^ (n-1) x) 1)} #

# = (2cos2 ^ nx + 1) #

# = "R.H.S." #

Maths'ın tadını çıkarın!