X sağ taraftan 1'e yaklaştıkça lim_ (xrarr1 ^ +) x ^ (1 / (1-x)) nedir?

1. / e #

# X, ^ (1 / (1-x)) #:

grafik {x ^ (1 / (1-x)) -2.064, 4.095, -1.338, 1.74}

Peki, biz sadece aldıysanız, bu çok daha kolay olurdu # Ln # İki tarafın da Dan beri # X, ^ (1 / (1-x)) # sağdaki açık aralıkta sürekli #1#diyebiliriz ki:

#ln lim_ (x-> 1 ^ (+)) x ^ (1 / (1-x)) #

# = lim_ (x-> 1 ^ (+)) ln (x ^ (1 / (1-x))) #

# = lim_ (x-> 1 ^ (+)) ln x / (1-x) #

Dan beri #ln (1) = 0 # ve #(1 - 1) = 0#, bu formda #0/0# ve L'Hopital'in kuralı geçerlidir:

# = lim_ (x-> 1 ^ (+)) (1 "/" x) / (- 1) #

Ve tabi ki, 1. / x # her tarafından sürekli #x = 1 #.

# => ln lim_ (x-> 1 ^ (+)) x ^ (1 / (1-x)) = -1 #

Sonuç olarak, orijinal sınır:

#color (mavi) (lim_ (x-> 1 ^ (+)) x ^ (1 / (1-x))) = "exp" (ln lim_ (x-> 1 ^ (+)) x ^ (1 / (1-x))) #

# = e ^ (- 1) #

# = renk (mavi) (1 / e) #