3x ^ (3) + 6x ^ (2) + 6x + 10 işlevi maksimum, minimum veya çarpma noktasıdır?

Cevap:

Dakika veya maksimum yok
Eğilme Noktası #x = -2 / 3 #.

grafik {3x ^ 3 + 6x ^ 2 + 6x + 10 -10, 10, -10, 20}

Açıklama:

Maden ve Maxler

Verilen için # X #-değeri (hadi diyelim) # C #) verilen bir fonksiyon için maksimum veya minimum olması için aşağıdakileri sağlaması gerekir:

#f '(c) = 0 # veya tanımsız.

Bu değerleri # C # ayrıca senin kritik noktalar.

Not: Tüm kritik noktalar maksimum / dakika değildir, ancak tüm maksimum / dakikaların kritik noktalarıdır.

Öyleyse, işleviniz için bunları bulalım:

#f '(x) = 0 #

# => d / dx (3x ^ 3 + 6x ^ 2 + 6x + 10) = 0 #

# => 9x ^ 2 + 12x + 6 = 0 #

Bu faktör değil, o yüzden ikinci dereceden formül deneyelim:

#x = (-12 + - sqrt (12 ^ 2-4 (9) (6))) / (2 (9)) #

# => (-12 + -sqrt (-72)) / 18 #

… ve orada durabiliriz. Gördüğünüz gibi, karekök altında negatif bir sayıya sahip oluyoruz. Dolayısıyla, var gerçek kritik nokta yok bu işlev için.

Çekim Noktaları

Şimdi, çekim noktalarını bulalım. Bunlar grafiğin tutarlılıkta (veya eğriliğin) değiştiği noktalardır. Bir nokta için (onu ara # C #) Bir sapma noktası olması için aşağıdakileri sağlaması gerekir:

#f '' (c) = 0 #.

Not: Tüm bu noktalar çarpma noktaları değildir, ancak tüm çarpma noktaları bunu sağlamalıdır..

Öyleyse bunları bulalım:

#f '' (x) = 0 #

# => d / dx (d / dx (3x ^ 3 + 6x ^ 2 + 6x + 10)) = 0 #

# => d / dx (9x ^ 2 + 12x + 6 = 0) #

# => 18x + 12 = 0 #

# => x = -12/18 = -2 / 3 #

Şimdi, bunun aslında bir çekim noktası olup olmadığını kontrol etmemiz gerekiyor. Yani bunu doğrulamamız gerekecek #f '(x)' # aslında işareti değiştirir mi #x = -2 / 3 #.

Öyleyse sağ ve soldaki değerleri test edelim #x = -2 / 3 #:

Sağ:

#x = 0 #

#f '' (0) = 12 #

Ayrıldı:

#x = -1 #

#f '' (- 1) = -6 #

Gerçek değerlerin ne olduğu umurumda değil, ama açıkça görebildiğimiz gibi, sağında pozitif bir sayı var. #x = -2 / 3 #, ve solundaki negatif bir sayı #x = -2 / 3 #. Dolayısıyla, gerçekten de bir çekim noktasıdır.

Özetlemek, #f (x) # Kritik noktaları yoktur (veya dakika veya maksimumlar), ancak #x = -2 / 3 #.

Grafiğine bir göz atalım #f (x) # ve bu sonuçların ne anlama geldiğini görün:

grafik {3x ^ 3 + 6x ^ 2 + 6x + 10 -10, 10, -10, 20}

Bu grafik her yerde artıyor, yani türev = 0 olan herhangi bir yere sahip değil. Ancak, eğri aşağı (içbükey aşağı), yukarı eğri (içbükey) arasında gidiyor. #x = -2 / 3 #.

Yardımcı oldu umarım:)