Bana yardım eder misin? int_0 ^ (p / 2) (e ^ (2x) * SiNx) dx

Cevap:

# = (2e ^ (p) 1) / 5 #

Açıklama:

bu, aşağıdaki şekilde parçalarla entegrasyon gerektirir. Sınırlar en sonuna kadar atlanacak

#int (e ^ (2x) sinx) dx #

#color (kırmızı) (I = Intu (dv) / (dx) dx) = uv INTV (du) / (dv) dx #

# U = e ^ (2x) => du = 2e ^ (2x) dx #

# (Dv) / (dx) = SiNx => v = -cosx #

#color (kırmızı) (I) = - e ^ (2x) cosx + int2e ^ (2x) cosxdx #

ikinci integral de parçalar tarafından yapılır.

# U = 2e ^ (2x) => du = 4e ^ (2x) dx #

# (Dv) / (dx) = cosx => v = SiNx #

#color (kırmızı), (I) = - e ^ (2x) cosx + 2e ^ (2x) SiNx-int4e ^ (2x) sinxdx #

#color (kırmızı) (I) = - e ^ (2x) cosx + 2e ^ (2x) sinx-4color (kırmızı) (I) #

#:. 5I = e ^ (2x) (2sinx-cosx) #

# I = (E ^ (2x) (2sinx-cosx)) / 5 #

şimdi sınırları koy

#I = (E ^ (2x) (2sinx-cosx)) / 5 _0 ^ (pi / 2) #

# = (E ^ pi ((2sin (pi / 2) -cos (p / 2))) / 5) - (e ^ (0) (sin0-CoS0) / 5) #

# 1 / 5e ^ pi 2-0 +1/5 -0 + 1 #

# = (2e ^ (p) 1) / 5 #

Cevap:

# {2e ^ pi + 1} / 5 #

Açıklama:

Zaten verilen cevap mükemmel olsa da, sadece biraz daha gelişmiş bir yaklaşım kullanarak aynı cevaba ulaşmanın daha kolay bir yolunu işaret etmek istedim - bu karmaşık sayılarla.

Ünlü ilişki ile başlıyoruz

# e ^ {ix} = cos (x) + günah (x) #

nerede # İ = sqrt {-1} #ve bunun bunun demek olduğunu

#sin (x) = Im (e ^ {ix}), e ^ {2x} sin (x) = Im (e ^ {(2 + i} x)) # anlamına gelir

nerede #Ben# hayali kısmı belirtir.

Yani

# int_0 ^ {pi / 2} e ^ {2x} günah (x) dx = Im (int_0 ^ {pi / 2) e ^ {(2 + i) x} dx) #

# = Im (e ^ {(2 + i) x} / {2 + i} | _0 ^ {pi / 2}) = Im ({e ^ pi e ^ {ipi / 2} -1} / {2+ ben})#

# = Im ({yani ^ pi -1} / {2 + i} kez {2-i} / {2-i}) = 1/5 Im ((- - + + ^ ^) (2-i)) #

# = 1/5 ((- 1) kez (-1) + e ^ pi çarpı 2) = {2e ^ pi + 1} / 5 #