Kısmi kesirler kullanarak f (x) = (3x ^ 2-x) / ((x ^ 2 + 2) (x-3) (x-7)) 'yi nasıl bütünleştirirsiniz?

Cevap:

35. / 51ln | x-7 | -6 / 11ln | x-3 | -1/561 (79 / 2LN (x ^ 2 + 2) + 47sqrt2tan ^ 1 ((sqrt2x) / 2)) + C #

Açıklama:

Payda zaten faktörlü olduğundan, kısmi kesirler yapmamız gereken tek şey sabitler için çözmektir:

# (3x ^ 2-x) / ((x ^ 2 + 2), (x-3), (x-7)) = (Ax + B) / (x ^ 2 + 2) + C / (x-3) + D / (x-7) #

İkisine de ihtiyacımız olduğunu unutmayın. # X # ve en soldaki kısımda sabit bir terim vardır, çünkü pay daima paydadan 1 derece daha düşüktür.

Sol taraftaki payda ile çarpabiliriz, ancak bu çok büyük bir iş olurdu, bu yüzden akıllı olabiliriz ve örtbas yöntemini kullanabiliriz.

Süreci ayrıntılı olarak ele almayacağım, fakat esas olarak yaptığımız şey, paydayı sıfıra eşit kılan şeyin ne olduğunu bulmak. # C # bu #, X = 3 #) ve onu sol tarafa takarak ve sabite karşılık gelen faktörü örtbas ederken değerlendirmek şunları sağlar:

# C = (3 (3) ^ 2-3) / ((3 ^ 2 + 2) (metin (////)) (3-7)) = - 6/11 #

İçin aynı şeyi yapabiliriz # D #:

# D = (3 (7) ^ 2-7) / ((7 ^ 2 + 2) (7-3) (metin (////))) 35/51 # =

Cover-up yöntemi yalnızca doğrusal faktörler için çalışır, bu yüzden # A # ve # B # geleneksel yöntemi kullanmak ve sol taraftaki payda ile çarpmak:

# 3 x ^ 2-x = (Ax + B), (x-3), (x-7) -6/11 (x ^ 2 + 2), (x-7) +35/51 (x ^ 2 + 2) (x 3) #

Eğer parantezin tamamını çarpıp bütün katsayıları eşitlersek # X # ve sürekli terimler, değerlerini bulabiliriz # A # ve # B #. Bu oldukça uzun bir hesaplama, bu yüzden ilgilenen kişi için bir link bırakacağım:

buraya TIKLAYIN

# A = -79 / 561 #

# B = -94 / 561 #

Bu, integralimizin:

#int 35 / (51 (x-7)) - 6 / (11 (x-3)) - (79x + 94) / (561 (x ^ 2 + 2)) dx #

İlk ikisi, paydaların oldukça basit u-ikameleri kullanılarak çözülebilir:

# 35 / 51ln | x-7 | -6 / 11ln | x-3 | -1 / 561int (79x) / (x ^ 2 + 2) + 94 / (x ^ 2 + 2) dx #

Kalan integrali ikiye bölebiliriz:

#int (79x) / (x ^ 2 + 2) + 94 / (x ^ 2 + 2) dx = int (79x) / (x ^ 2 + 2) dx + int 94 / (x ^ 2 + 2) dx #

Soldaki İntegral 1 ve sağdaki Integral 2 diyeceğim.

İntegral 1

Bu integrali bir u-ikame ile çözebiliriz. # U = x ^ 2 + 2 #. Türev #2 kere#Yani böle #2 kere# saygı ile bütünleşmek # U #:

# 79int x / (x ^ 2 + 2) dx = 79int cancel (x) / (2cancel (x) u) du = 79 / 2int 1 / u du = 79 / 2ln | u | + C = 79 / 2LN | x ^ 2 + 2 | + C #

İntegral 2

Bu entegrali forma sokmak istiyoruz. # Kahve renkli ^ -1 #:

#int 1 / (1 + t ^ 2) dt = tan ^ -1 (t) + C #

İle bir ikame tanıtırsak # X = sqrt2u #İntegralimizi bu forma dönüştürebileceğiz. İle ilgili olarak bütünleşmek # U #ile çarpmamız gerekiyor # Sqrt2 # (türev aldığımızdan beri # U # yerine # X #):

# 94int 1 / (x ^ 2 + 2) dx = 94sqrt2int 1 / ((sqrt2u) ^ 2 + 2) du = #

# = 94sqrt2int 1 / (2u ^ 2 + 2) du = 94 / 2sqrt2int 1 / (u ^ 2 + 1) du = #

# = 47sqrt2tan ^ 1 (u) + c = 47sqrt2tan ^ -1 (x / sqrt2) + C #

Orijinal integralin tamamlanması

Artık İntegral 1 ve Integral 2'nin neye eşit olduğunu bildiğimize göre, son cevabımızı almak için orijinal integrali tamamlayabiliriz:

35. / 51ln | x-7 | -6 / 11ln | x-3 | -1/561 (79 / 2LN (x ^ 2 + 2) + 47sqrt2tan ^ 1 ((sqrt2x) / 2)) + C #