Kısmi kesirler kullanarak int (4x ^ 2 + 6x-2) / ((x-1) (x + 1) ^ 2) 'yi nasıl bütünleştirirsiniz?

Cevap:

#int (4x ^ 2 + 6x -2) / ((x-1) (x + 1) ^ 2) dx = #

# 2ln (x-1) + 2ln (x + 1) -2 / (x + 1) + C_o #

Açıklama:

A, B, C değişkenlerini çözmek için denklemi kurun

#int (4x ^ 2 + 6x -2) / ((x-1) (x + 1) ^ 2) dx = int (A / (x-1) + B / (x + 1) + C / (x 1) ^ 2) dx #

Önce A, B, C için çözelim:

# (4x ^ 2 + 6x -2) / ((x-1) (x + 1) ^ 2) = A / (x-1) + B / (x + 1) + C / (x + 1) ^ 2 #

LCD # = (X-1), (x + 1) ^ 2 #

# (4x ^ 2 + 6x -2) / ((x-1) (x + 1) ^ 2) = (A (x + 1) ^ 2 + B (x ^ 2-1) + C (x-1))) / ((x-1), (x + 1) ^ 2) #

basitleştirmek

# (4x ^ 2 + 6x -2) / ((x-1) (x + 1) ^ 2) = (A (x ^ 2 + 2x + 1) + B (x ^ 2-1) + C (x 1)) / ((x-1), (x + 1) ^ 2) #

# (4x ^ 2 + 6x -2) / ((x-1) (x + 1) ^ 2) = (Ax ^ 2 + 2Ax + A + Bx ^ 2-B + Cx-C) / ((x- 1) (x + 1) ^ 2) #

Sağ taraftaki terimleri yeniden düzenleme

# (4x ^ 2 + 6x -2) / ((x-1) (x + 1) ^ 2) = (Ax ^ 2 + Bx ^ 2 + 2Ax + Cx + ABC) / ((x-1) (x 1) ^ 2) #

sol ve sağ terimlerin sayısal katsayılarını eşleştirerek A, B, C için çözülecek denklemleri ayarlayalım.

# A + B = 4 "" #ilk denklem

# 2A + C = 6 "" #ikinci denklem

# A-B-C = -2 "" #üçüncü denklem

İkinci ve üçüncü denklemleri kullanarak eşzamanlı çözüm

# 2A + A + C = C-B = 6-2 #

# 3A-B = 4 "" #dördüncü denklem

Şimdi ilk ve dördüncü denklemleri kullanmak

# 3A-B = 4 "" #dördüncü denklem

# 3 (4-B) -B = 4 "" #dördüncü denklem

# 12-3B-B = 4 #

# -4b = 4-12 #

# -4b = -8 #

# B = 2 #

Kullanarak A için çözün # 3A-B = 4 "" #dördüncü denklem

# 3A-2 = 4 "" #dördüncü denklem

# 3A = 4 + 2 #

# 3A = 6 #

# A = 2 #

Kullanarak C'yi çözün # 2A + C = 6 "" #ikinci denklem ve # A = 2 # ve # B = 2 #

# 2A + C = 6 "" #ikinci denklem

2. (2) + C = 6 #

4. + C = 6 #

# C = 6-4 #

# C = 2 #

Şimdi entegrasyonumuzu gerçekleştiriyoruz

#int (4x ^ 2 + 6x -2) / ((x-1) (x + 1) ^ 2) dx = int (2 / (x-1) + 2 / (x + 1) + 2 / (x 1) ^ 2) dx #

#int (4x ^ 2 + 6x -2) / ((x-1) (x + 1) ^ 2) dx = int (2 / (x-1) + 2 / (x + 1) + 2 * (x 1) ^ (- 2)) dx #

#int (4x ^ 2 + 6x -2) / ((x-1) (x + 1) ^ 2) dx = 2ln (x-1) + 2ln (x + 1) + (2 * (x + 1) ^ (- 2 + 1)) / (- 2 + 1) + C_o #

#int (4x ^ 2 + 6x -2) / ((x-1) (x + 1) ^ 2) dx = 2ln (x-1) + 2ln (x + 1) -2 / (x + 1) + C_o #

Allah razı olsun ….. Umarım açıklama yararlıdır.