Değeri nedir? lim_ (x-> 0) (int_0 ^ x günah t ^ 2.dt) / günah x ^ 2

Cevap:

# lim_ (x rarr 0) (int_0 ^ x günah t ^ 2 dt) / (günah x ^ 2) = 0 #

Açıklama:

Biz ararız:

# L = lim_ (x rar 0) (int_0 ^ x sin t ^ 2 dt) / (sin x ^ 2) #

Hem pay hem de 2 payda #rarr 0 # gibi #x rarr 0 #. bu yüzden sınır # L # (varsa) belirsiz bir biçimdedir #0/0#ve sonuç olarak, L'Hôpital'in kuralını aşağıdakileri uygulayabiliriz:

# L = lim_ (x rar 0) (d / dx int_0 ^ x günah (t ^ 2) dt) / (d / dx günah (x ^ 2)) #

# = lim_ (x rar 0) (d / dx int_0 ^ x günah (t ^ 2) dt) / (d / dx günah (x ^ 2)) #

Şimdi, hesabın temel teoremini kullanarak:

# d / dx int_0 ^ x günah (t ^ 2) dt = günah (x ^ 2) #

Ve,

# d / dx günah (x ^ 2) = 2xcos (x ^ 2) #

Ve bu yüzden:

# L = lim_ (x rar 0) günah (x ^ 2) / (2xcos (x ^ 2)) #

Yine bu belirsiz bir formda #0/0#ve sonuç olarak, tekrar almak için L'Hôpital'in kuralını uygulayabiliriz:

# L = lim_ (x rar 0) (d / dx günah (x ^ 2)) / (d / dx 2xcos (x ^ 2)) #

# = lim_ (x rar 0) (2xcos (x ^ 2)) / (2cos (x ^ 2) -4x ^ 2sin (x ^ 2)) #

Hangisini değerlendirebiliriz:

# L = (0) / (2-0) = 0 #