Y = (sinx) ^ x'in türevi nedir?

Cevap:

# dy / dx = (ln (sinx) + xcotx) (sinx) ^ x #

Açıklama:

Logaritmik farklılaşma kullanın.

#y = (sinx) ^ x #

#lny = ln ((sinx) ^ x) = xln (sinx) # (Özelliklerini kullanın. # Ln #)

Örtük olarak ayırt edin: (Ürün kuralını ve zincir yakıtı kullanın)

# 1 / y dy / dx = 1ln (sinx) + x 1 / sinx cosx #

Böylece sahibiz:

# 1 / y dy / dx = ln (sinx) + x cotx #

İçin çözün # Dy / dx # ile çarparak #y = (sinx) ^ x #, # dy / dx = (ln (sinx) + xcotx) (sinx) ^ x #

Cevap:

# G / dx (SiNx) ^ x = (ln (SiNx) + xcotx) (SiNx) ^ x #

Açıklama:

Bunu görmenin en kolay yolu kullanıyor:

# (SiNx) ^ x = e ^ (ln ((SiNx) ^ x)) = e ^ (XLN (SiNx)) #

Bunun türevini alarak verir:

# G / dx (SiNx) ^ x = (d / dxxln (SiNx)) e ^ (XLN (SiNx)) #

# = (Ln (SiNx) + xd / dx (ln (SiNx))) (SiNx) ^ x #

# = (Ln (SiNx) + X (d / dxsinx) / SiNx) (SiNx) ^ x #

# = (Ln (SiNx) + xcosx / SiNx) (SiNx) ^ x #

# = (Ln (SiNx) + xcotx) (SiNx) ^ x #

Şimdi şunu not etmeliyiz ki: # (SiNx) ^ x = 0 #, #ln ((sinx) ^ x) # tanımsız.

Ancak, fonksiyonun davranışını analiz ettiğimizde # X #bunun için, fonksiyonun bunun çalışması için yeterince iyi davrandığını görüyoruz, çünkü:

# (SiNx) ^ x # 0 yaklaşıyor

sonra:

#ln ((sinx) ^ x) # yaklaşacak # -Oo #

yani:

# E ^ (ln ((SiNx) ^ x)) # 0'a da yaklaşacak

Ayrıca, biz not #sinx <0 #, #ln ((sinx) ^ x) # karmaşık bir sayı olacaktır; Bununla birlikte, kullandığımız tüm cebir ve hesaplar karmaşık düzlemde de çalışır, bu yüzden bu bir problem değildir.

Cevap:

Daha genel olarak…

Açıklama:

# d / dx f (x) ^ g (x) = g (x) / f (x) f '(x) + g' (x) ln (f (x)) f (x) ^ g (x) #