Lütfen bu konuda bana yardım et, nasıl yapmalı?

Cevap:

#k = 3 #

Açıklama:

Üs özelliklerinin kullanılması # (ab) ^ x = a ^ xb ^ x # ve # (a ^ x) ^ y = a ^ (xy) #, sahibiz

# 24 ^ k = (2 ^ 3 * 3 ^ 1) ^ k = (2 ^ 3) ^ k * (3 ^ 1) ^ k = 2 ^ (3k) * 3 ^ k #

Böylece #13!# tarafından bölünebilir # 24 ^ k # ancak ve ancak #13!# tarafından bölünebilir 2. ^ (3k) # ve tarafından bölünebilir 3. ^ k #.

En büyük gücünü söyleyebiliriz #2# hangi tarafından #13!# ayrılabilir faktörlere bakarsak ayrılabilir #2#:

#2 = 2^1#

#4 = 2^2#

#6 = 2^1*3#

#8 = 2^3#

#10 = 2^1*5#

#12 = 2^2*3#

Tek faktörlerin hiçbiri herhangi bir faktöre katkıda bulunmadığından #2#, sahibiz

# 13! = (2 ^ 1 * 2 ^ 2 * 2 ^ 1 * 2 ^ 3 * 2 ^ 1 * 2 ^ 2) * m = 2 ^ (10) * m #

nerede # M # bazı tam sayıların bölünemediği #2#. Gibi biliyoruz ki #13!# tarafından bölünebilir 2. ^ (3k) # ancak ve ancak #2^10# tarafından bölünebilir 2. ^ (3k) #anlamı # 3k <= 10 #. Gibi # K bir tamsayı, bu demektir ki #k <= 3 #.

Sonra, hangi faktörlerin olduğuna bakabiliriz. #13!# tarafından bölünebilir #3#:

#3 = 3^1#

#6 = 3^1 * 2#

#9 = 3^2#

#12 = 3^1*4#

Başka hiçbir faktör olarak #13!# herhangi bir faktöre katkıda bulunmak #3#, Bunun anlamı

# 13! = (3 ^ 1 * 3 ^ 1 * 3 ^ 2 * 3 ^ 1) * n = 3 ^ 5 * n #

nerede # N # bazı tam sayıların bölünemediği #3#. Gibi, biz bunu biliyoruz #3^5# tarafından bölünebilir 3. ^ k #anlamı #k <= 5 #.

Kısıtlamaları sağlayan en büyük negatif olmayan tam sayı #K <= 3 # ve #K <= 5 # olduğu #3#, bize cevabımızı vererek # K = 3 #.

Bir hesap makinesi bunu doğrular #(13!)/24^3 = 450450#, buna karşılık #(13!)/24^4=18768.75#