2 × exp (x) + 2x-7 = 0 nasıl çözülür?

Cevap:

Bu soruyu grafiksel olarak çözebiliriz.

Açıklama:

Verilen denklem # 2e ^ (x) + 2x-7 = 0 # olarak yeniden yazılabilir

# 2e ^ (x) = 7-2x #

Şimdi bu ikisini ayrı fonksiyonlar olarak alın

#f (x) = 2e ^ (x) # ve #g (x) = 7-2x # ve grafiklerini çizer; onların kesişim noktası Olacak çözüm verilen denkleme # 2e ^ (x) + 2x-7 = 0 #

Bu aşağıda gösterilmiştir: -

Cevap:

Bu, lise cebirinin ötesinde ve bunu çözmenin en iyi yolu Wolfram Alpha'ya kimin cevap vereceğini sormak. #x yaklaşık.94 #.

Açıklama:

çözmek

# 2e ^ x + 2x -7 = 0 #

Bu gibi sorular genel olarak zordur ve cevap, lisede Cebir'de veya matematikte daha derin olmanıza bağlı olarak değişir.

Lise için en iyi yaklaşım sadece küçük sayıları denemek ve işe yarayıp yaramadıklarını görmek. (Bu birçok, birçok lise matematik problemi için işe yarıyor, tamam.) Gerçekten sadece bir rasyonel var # X # bu yapar # E ^ x # akılcı, #, X = 0 #bu bir çözüm değil. Tahmin etmek burada işe yaramayacak.

Bir yaklaşım yeterince iyi ise, grafiği veya grafiği çizebiliriz. # 2e ^ x # ve # 7-2x # ve nerede tanıştıklarını görün.

Seviyeniz ne olursa olsun, böyle sert bir şeyle karşılaştığınızda, Wolfram Alpha olan mevcut uzmana sormak genellikle iyi bir harekettir.

Alpha'nın bize 1'e oldukça yakın bir cevap verdiğini ve hatta genellikle lise matematiğinin bir parçası olmayan Lambert Ürün Günlüğünün W (x) kullanarak bir formül verdiğini görüyoruz.

Lisede Cebir'de bildiğimiz düzenli fonksiyon ve işlemleri kullanarak cevap yok. Bu bir terim eklediğimizde genellikle doğrudur # X # üstele, bir yere # X # doğrusal veya daha yüksek bir güç olarak görünür.

Bu çoğu öğrencinin cevabının sonu. Ama daha derine gidebiliriz. Ürün günlüğü ilginç bir fonksiyondur.Denklemi göz önünde bulundur

#k = xe ^ x #

Sağ tarafta artan bir fonksiyondur # X #, yani geçecek # K er ya da geç. Günlüğü almak gerçekten bizi hiçbir yere götürmez: #ln k = ln x + x #.

Günlük gibi bir şeye ihtiyacımız var, ama bunun tersi değil # E ^ x #. Bunun tersi olmalı # Xe ^ x #. Buna Ürün Günlüğü veya Lambert W işlevi adı verilir:

#k = xe ^ x # gerçek bir çözümü var #x = W (k) #.

Dikkatimizi gerçeklerle sınırlayacağız. Keşfetmeyi denemek eğlenceli # W '#s özellikleri. Verdiğimiz temel şey

#W (xe ^ x) = x #

İzin ver #, X = ye ^ y # aşağıda #W (x) y # =. şimdi

# W (x) e ^ {W (x)} = y e ^ y = x #

Çok havalı. Peki ya

# e ^ {W (x)} = e ^ {y} = frak x y = frak {x} {W (x)} #

Günlükleri alarak, # W (x) = ln x - ln W (X) #

# ln W (x) = ln x - W (x) dört # günlüklerin tanımlandığı varsayılarak

Şimdi W ile çalışmanın nasıl bir şey olduğunu görüyorsanız, denklemi çözmek için veya Alpha'nın çözümünü kontrol etmek için kullanıp kullanamayacağınıza bakın.

# x = 7/2 - W (e ^ (7/2)) #