Cevap:
Eğimi bulmak için sınır tanımını uyguladıktan sonra çok sayıda cebir yapın. #, X = 3 # olduğu #13#.
Açıklama:
Türevin limit tanımı şöyledir:
#f '(x) = lim_ (h> 0) (f (x + s) f (x)) / h #
Bu sınırı değerlendirirsek # 3x ^ 2-5x + 2 #için bir ifade alacağız türev Bu fonksiyonun Türev basitçe teğet çizgisinin bir noktadaki eğimidir; yani türevini de #, X = 3 # Bize teğet çizginin eğimini verecek #, X = 3 #.
Bununla birlikte, hadi başlayalım:
#f '(x) = lim_ (h> 0) (3 (x + s) ^ 2-5 (x + H) + 2- (3x ^ 2-5x + 2)) / h #
#f '(x) = lim_ (h> 0) (3 (x ^ 2 + 2HX + h ^ 2) -5x-5h + 2-3x ^ 2 + 5x-2) / h #
#f '(x) = lim_ (h> 0) ((3x ^ 2) + 6HX + 3H ^ 2-iptal (5x) -5H + ((2) -İptal (3x ^ 2 iptal) + iptal 5x iptal) -İptal (2)) / h #
#f '(x) = lim_ (h> 0) (6HX + 3H ^ 2-5h) / h #
#f '(x) = lim_ (h> 0) (iptal (h) (6x + 3H-5)) / iptal (h) #
#f '(x) = lim_ (h> 0) 6x + 3H-5 #
Bu limiti değerlendirmek # H = 0 #, #f '(x) = 6x + 3 (0) -5 = 6x-5 #
Şimdi türevimiz var, sadece fişe takmamız gerek. #, X = 3 # orada teğet hattın eğimini bulmak için:
#f '(3) = 6 (3) -5 = 18-5 = 13 #
Cevap:
Öğretmeniniz / ders kitabınız kullanıyorsa, aşağıdaki açıklama bölümüne bakın. #lim_ (xrarra) (f (x) -f (a)) / (X-a) '#
Açıklama:
Analizin bazı sunumları, çizginin grafiğe teğet eğrisinin tanımlanması için kullanılır. #f (x) # tam o noktada # X bir # = olduğu #lim_ (xrarra) (f (x) -f (a)) / (X-a) '# sınırın mevcut olması şartıyla.
(Örneğin James Stewart'ın 8. basımı hesap p 106. 107. sayfada, eşdeğeri #lim_ (hrarr0) (f (a + H) -f (a)) / h #.)
Bu tanım ile teğet çizginin grafiğinin eğimi #f (x) = 3x ^ 2-5x + 2 # tam o noktada #, X = 3 # olduğu
#lim_ (xrarr3) (f (x) -f (3)) / (x-3) = lim_ (xrarr3) (3x ^ 2-5x + 2 - 3 (3) ^ 2-5 (3) + 2) / (x-3) #
# = lim_ (xrarr3) (3x ^ 2-5x + 2-27 + 15-2) / (x-3) #
# = lim_ (xrarr3) (3x ^ 2-5x-12) / (x-3) #
Bu limitin belirsiz bir biçime sahip olduğunu unutmayın. #0/0# Çünkü #3#, paydaki polinomun bir sıfırıdır.
Dan beri #3# sıfır, bunu biliyoruz # X-3 # bir faktördür. Böylece faktörleri azaltabilir ve tekrar değerlendirmeye çalışabiliriz.
# = lim_ (xrarr3) (iptal et ((x-3))) (3x + 4)) / iptal et ((x-3)) #
# = lim_ (xrarr3) (3x + 4) = 3 (3) +4 = 13 #.
Sınırı #13#, böylece teğet çizginin eğimi #, X = 3 # olduğu #13#.
