Poisson Dağılımını nasıl kanıtlayabilirsiniz?

Cevap:

# "Açıklamaya bak" #

Açıklama:

# "N adetten oluşan" t "uzunluğunda bir süre alıyoruz" #

#Delta t = t / n ". Başarılı bir etkinlik şansının olduğunu varsayalım" #

# "tek parçadaki" p ", ardından n'deki toplam etkinlik sayısı" #

# "zaman parçaları göre göre binom dağıtılır" #

#p_x (x) = C (n, x) p ^ x (1-p) ^ (n-x), x = 0,1, …, n #

# "ile" C (n, k) = (n!) / ((n-k)! * (k!)) "(kombinasyonlar)" #

# "Şimdi izin veriyoruz" #

# n-> oo ", yani" p-> 0 ", ama" n * p = lambda #

# "Öyleyse" p_x "yerine" p = lambda / n "yazalım:" #

#p_x (x) = (n!) / ((x!) (n-x)!) (lambda / n) ^ x (1-lambda / n) ^ (n-x) #

# = lambda ^ x / (x!) (1-lambda / n) ^ n (n!) / ((n-x)!) * 1 / (n ^ x (1-lambda / n) ^ x) #

# = lambda ^ x / (x!) (1-lambda / n) ^ n (n (n-1) (n-2) … (n-x + 1)) / (n (1-lambda) / n)) ^ x #

# "n -> oo" için … "-> 1" ve "# arasındakiler

# (1 - lambda / n) ^ n -> e ^ -lambda "(Euler sınırı)," #

# "öyleyse elde ederiz" #

#p_x (x) = (lambda ^ x e ^ -lambda) / (x!), x = 0,1,2, …, oo #