Güç kaynağının bir alan olduğunu kanıtlıyor musun?

Cevap:

Bir setin güç seti, doğal birleşme ve kesişme işlemleri altında değişimli bir halkadır, ancak tersine sahip olmadığından, bu işlemler altındaki bir alan değildir.

Açıklama:

Herhangi bir set verilen # S #, güç ayarını düşünün 2. ^ S # arasında # S #.

Bu doğal birliğin sendika operasyonlarına sahip # Uu # bir kimlikle toplama gibi davranan #O/# ve kavşak # Nn # bir kimlikle çarpma gibi davranır # S #.

Daha ayrıntılı olarak:

• 2. ^ S # altında kapalı # Uu #

  Eğer #A, B, 2 ^ S # sonra # 2 ^ S # 'de B

• Bir kimlik var # O / in 2 ^ S # için # Uu #

  Eğer # 2'de 2 ^ S # sonra # A uu O / = O / uu A = A #

• # Uu # birleştirici

  Eğer # A, B, C 2 ^ S # sonra # A uu (B uu C) = (A uu B) uu C #

• # Uu # değişmeli

  Eğer #A, B, 2 ^ S # sonra #Auu B = Buu A #

• 2. ^ S # altında kapalı # Nn #

  Eğer #A, B, 2 ^ S # sonra # 2'de bir Bn ^ S #

• Bir kimlik var # 2'de ^ ^ S # için # Nn #

  Eğer # 2'de 2 ^ S # sonra # A nn S = Snn A = A #

• # Nn # birleştirici

  Eğer # A, B, C 2 ^ S # sonra # A nn (Bnn C) = (A nn B) nn C #

• # Nn # değişmeli

  Eğer #A, B, 2 ^ S # sonra # A nn B = B nn A #

• # Nn # soldan ve sağdan dağılır # Uu #

  Eğer #A, B, 2 ^ S # sonra # A nn (Bc C) = (A nn B) Bc (A nn C) #

  ve # (Auu B) nn C = (Ann C) uu (Bnn C) #

Yani 2. ^ S # Eklemeli değişmeli bir halka olması için gereken tüm aksiyomları karşılar # Uu # ve çarpma # Nn #.

Eğer #S = O / # sonra 2. ^ S # yani bir eleman var #O/#Bu nedenle, farklı katkı ve çarpma kimlikleri yoktur ve bu nedenle bir alan değildir.

Aksi takdirde # S # altında hiçbir tersi yok # Uu # ve #O/# altında hiçbir tersi yok # Nn #. Yani 2. ^ S # Ters elemanların eksikliğinden dolayı bir alan oluşturmaz.