Bir çizgi boyunca hareket eden bir parçacık için hız fonksiyonu v (t) = –t ^ 2 + 3t - 2'dir. [-3,6] zaman aralığı boyunca parçacığın yer değiştirmesi (kapsanan net mesafe) nedir?

Cevap:

#int _ (- 3) ^ 6 v (t) dt = 103,5 #

Açıklama:

Bir hız eğrisi altındaki alan kaplanan mesafeye eşittir.

#int _ (- 3) ^ 6 v (t) dt #

# = int _ (- 3) ^ 6 -t ^ 2 + 3t-2renk (beyaz) ("X") dt #

# = - 1 / 3t ^ 3 + 3 / 2t ^ 2-2t | _color (mavi) ((- 3)) ^ renk (kırmızı) (6) #

# = (renk (kırmızı) (- 1/3 (6 ^ 3) +3/2 (6 ^ 2) -2 (6))) - (renk (mavi) (- 1/3 (-3) ^ 3 +3/2 (-3) ^ 2-2 (-3))) #

#=114 -10.5#

#=103.5#

Cevap:

Asıl soru, yer değiştirme ve mesafenin aynı şey olmadığını ima ettiği için biraz kafa karıştırıcı.

Buradaki her farklı dava için gerekli entegrasyonu kurdum.

Açıklama:

Toplam mesafe (gerçek yol uzunluğunu temsil eden skaler miktar) kısmi integrallerin toplamı ile verilir.

#, X = int = (- 3) ^ 1 (0 - (- t ^ 2 + 3t-2) dt + int_1 ^ 2 (t ^ 2 + 3t-2) dt + int_2 ^ 6 (t ^ 2-3t + 2) dt #

Toplam yer değiştirme (hareketin başından sonuna çizilen düz çizgiyi temsil eden vektör miktarı) aşağıdaki integral tarafından büyüklükte verilmiştir.

# | Vecx | = -INT = (- 3) ^ 1 (t ^ 2-3t + 2) dt + int_1 ^ 2 (t ^ 2 + 3t-2) dt-int_2 ^ 6 (t ^ 2-3t + 2) dt #

Hız fonksiyonunun zamanla grafiği, bu integrallerin neden vektör kurallarına uyulması ve tanımlarının yerine getirilmesi için ayarlanması gerektiğini açıkça ortaya koymaktadır.

{-x ^ 2 + 3x-2 grafiği -34.76, 38.3, -21.53, 14.98}