Sqrt (x ^ 2 + 4x) dx'i nasıl ekleyebilirim?

Cevap:

#int sqrt (x ^ 2 + 4x) dx = sinh (2cosh ^ -1 ((x + 2) / 2)) - 2cosh ^ -1 ((x + 2) / 2) + C #

Açıklama:

Sadece bir taneyle uğraşmak daha kolay olduğu için # X # karekök altında kareyi tamamlarız:

# X ^ 2 + 4x = (x + 2) ^ 2 + k #

# X ^ 2 + 4x = x ^ 2 + 4x + 4 + k #

# K = -4 #

# X, ^ 2 + 4x = (x + 2) ^ 2-4 #

#int sqrt (x ^ 2 + 4x) dx = int sqrt ((x + 2) ^ 2-4) dx #

Şimdi trigonometrik bir ikame yapmamız gerekiyor. Hiperbolik trig fonksiyonlarını kullanacağım (çünkü secant integrali genellikle çok hoş değildir). Aşağıdaki kimliği kullanmak istiyoruz:

# Cop ^ 2 (teta) -1 = SİNH ^ 2 (teta) #

Bunu yapmak istiyoruz # (X + 2) ^ 2 = 4cosh ^ 2 (teta) #. İçin çözebiliriz # X # ihtiyacımız olanı alabilmek için:

# X + 2 = 2cosh (teta) #

#, X = 2cosh (teta) -2 #

İle ilgili olarak bütünleşmek # Teta #türeviyle çarpmamız gerekiyor # X # göre # Teta #:

# dx / (d teta) = 2 zın (teta) #

#int sqrt ((x + 2) ^ 2-4) dx = int sqrt ((2cosh (theta)) ^ 2-4) * 2sinh (theta) d theta = #

# = 2int sqrt (4cosh ^ 2 (theta) -4) * sinh (theta) d teta = 2int sqrt (4 (cosh ^ 2 (theta) -1)) * sinh (theta) d theta = #

# = 2 * sqrt (4) int sqrt (cosh ^ 2 (theta) -1) * sinh (theta) d theta = #

Şimdi kimliği kullanabiliriz # Cop ^ 2 (teta) -1 = SİNH ^ 2 (teta) #:

# = 4int sqrt (sinh ^ 2 (teta)) * sinh (teta) d teta = 4int sinh ^ 2 (teta) d teta #

Şimdi kimliği kullanıyoruz:

# SİNH ^ 2 (teta) = 1/2 (cop (2teta) -1) #

# 4 / 2int cosh (2theta) -1 d theta = int 2cosh (2theta) d theta-2theta = #

İçin açık bir ikame yapabiliriz # 2cosh (2teta) #, ama cevabın oldukça açık olduğu anlaşılıyor. #sinh (2teta) #:

# = SİNH (2teta) -2theta + C #

Şimdi değişikliği değiştirmemiz gerekiyor. İçin çözebiliriz # Teta # almak:

# Teta = cop ^ 1 ((x + 2) / 2) #

Bu verir:

#sinh (2cosh ^ 1 ((x + 2) / 2)) - 2cosh ^ 1 ((x + 2) / 2) +, C #