İnt sec ^ -1x 'in parça metoduna göre entegrasyonu ile nasıl entegre edilir?

Cevap:

Cevap # = X "yay" secx-ln (x + sqrt (x ^ 2-1)) + C #

Açıklama:

İhtiyacımız var

# (Sn ^ -1x) '= ("ARC" secx)' = 1 / (xsqrt (x ^ 2-1)) #

# İntsecxdx = İn (sqrt (x ^ 2-1) + X) #

Parçalarla entegrasyon

# İntu'v = uv intuv '#

Burada, biz var

# U '= 1 #, #=>#, # U = # x

# V = "arc" secx #, #=>#, # V '= 1 / (xsqrt (x ^ 2-1)) #

Bu nedenle, #int "yay" secxdx = X "yay" secx-int (dx) / (sqrt (x ^ 2-1)) #

İkame ile ikinci integrali gerçekleştirin

let # X = secu #, #=>#, # Dx = secutanudu #

#sqrt (x ^ 2-1) = sqrt (sn ^ 2u-1) = tanu #

# İntdx / SQRT (X ^ 2-1) = int (secutanudu) / (tanu) = intsecudu #

# = İnt (secu (SECU + tanu) du) / (secu + tanu) #

# = int ((sec ^ 2u + secutanu) du) / (secu + tanu) #

let # V = SECU + tanu #, #=>#, # Dv = (sn ^ 2u + secutanu) du #

Yani, # İntdx / SQRT (X ^ 2-1) = int (dv) / (h) = LNV #

# = İn (SECU + tanu) #

# = İn (x + sqrt (x ^ 2-1)) #

En sonunda, #int "yay" secxdx = X "yay" secx-ln (x + sqrt (x ^ 2-1)) + C #

Cevap:

#int sec ^ -1 (x) dx = xsec ^ -1 (x) -ln (| x | + sqrt (x ^ 2-1)) + C #

Açıklama:

Alternatif olarak, ters fonksiyonların integrallerini çalışmak için az bilinen bir formül kullanabiliriz. Formül şöyledir:

#int f ^ -1 (x) dx = xf ^ -1 (x) -F (f ^ -1 (x)) + C #

nerede # F ^ -1 (x) # tersi #f (x) # ve #F (x) # anti-türevi #f (x) #.

Bizim durumumuzda, biz alırız:

#int sec ^ -1 (x) dx = xsec ^ -1 (x) -F (sn ^ -1 (x)) + C #

Şimdi tek ihtiyacımız olan anti-türev. # F #, bilinen sekant integrali olan:

#int sn (x) dx = ln | sn (x) + tan (x) | + C #

Bunu formüle geri sokmak son cevabımızı verir:

#int sec ^ -1 (x) dx = xsec ^ -1 (x) -ln | sn (sn ^ -1 (x)) + tan (sn ^ -1 (x)) | + C #

Sadeleştirme konusunda dikkatli olmamız gerekiyor #tan (sn ^ -1 (x)) # için #sqrt (x ^ 2-1) # çünkü kimlik sadece geçerlidir # X # olumlu. Ancak şanslıyız, çünkü logaritmanın içindeki diğer terime mutlak bir değer koyarak bunu düzeltebiliriz. Bu aynı zamanda ilk mutlak değere olan ihtiyacı da ortadan kaldırır, çünkü logaritma içindeki her şey daima pozitif olacaktır:

# Xsec ^ -1 (x) -ln (| x | + sqrt (x ^ 2-1)) + C #