İnt x ^ lnx nasıl entegre edilir?

Cevap:

#int x ^ ln (x) dx = e ^ (- 1/4) sqrtpi / 2erfi (ln (x) +1/2) + C #

Açıklama:

İle ikame ile başlıyoruz # U = İn (x) #. Daha sonra türevine göre bölmek # U # saygı ile bütünleşmek # U #:

# (Du) / dx = 1 / x #

#int x ^ ln (x) dx = int x * x ^ u du #

Şimdi çözmemiz gerek # X # açısından # U #:

# U = İn (x) #

# X = e ^ u #

#int x * x ^ u du = int e ^ u * (e ^ u) ^ u du = int e ^ (u ^ 2 + u) du #

Bunun temel bir türev karşıtı olmadığını ve doğru olacağını tahmin edebilirsiniz. Ancak formu hayali hata işlevi için kullanabiliriz, #erfi (x) #:

#erfi (x) = int 2 / sqrtpie ^ (x ^ 2) dx #

İntegralimizi bu forma sokmak için, üssünde sadece bir kare değişkenimiz olabilir. # E #, bu yüzden kare tamamlamamız gerekiyor:

# U ^ 2 + u = (u + 1/2) ^ 2 + K #

# U ^ 2 + u = u ^ 2 + u + 1/4 + K #

#, K = -1/4 #

# U ^ 2 + u = (u + 1/2) ^ 2-1 / 4 #

#int e ^ (u ^ 2 + u) du = int e ^ ((u + 1/2) ^ 2-1 / 4) du = e ^ (- 1/4) int e ^ ((u + 1/2) ^ 2) du #

Şimdi bir u-ikame ile tanıtabiliriz. # T = u + 1/2 #. Türev sadece #1#Dolayısıyla, entegrasyon için özel bir şey yapmamız gerekmez. # T #:

#e ^ (- 1/4) int e ^ (t ^ 2) dt = e ^ (- 1/4) * sqrtpi / 2int 2 / sqrtpie ^ (t ^ 2) dt = e ^ (- 1/4) / 2 * Erfi (t) = C # SQRTPI

Şimdi almak için tüm ikameleri geri alabiliriz:

# E ^ (- 1/4) SQRTPI / 2erfi (u + 1/2) + C = e ^ (- 1/4) SQRTPI / 2erfi (ln (x) + 1/2) + C #

İnt sec ^ -1x 'in parça metoduna göre entegrasyonu ile nasıl entegre edilir?

Cevap = x "arc" secx-ln (x + sqrt (x ^ 2-1)) + C İhtiyacımız var (sec ^ -1x) '= ("arc" secx)' = 1 / (xsqrt (x ^ 2-1)) intsecxdx = ln (sqrt (x ^ 2-1) + x) Parçalarla entegrasyon intu'v = uv-intuv 'Burada, u' = 1, =>, u = xv = "arc "secx, =>, v '= 1 / (xsqrt (x ^ 2-1)) Bu nedenle, int" arc "secxdx = x" arc "secx-int (dx) / (sqrt (x ^ 2-1)) İkinci integrali yerine koyma işlemi gerçekleştirin Let x = secu, =>, dx = secutanudu sqrt (x ^ 2-1) = sqrt (sec ^ 2u-1) = tanu intdx / sqrt (x ^ 2-1) = int (secutanudu ) / (tanu) = intsecudu = int

İnt e ^ x sinx cosx dx nasıl entegre edilir?

Int e ^ xsinxcosx dx = e ^ x / 10sin (2x) -e ^ x / 5cos (2x) + C Öncelikle şu kimliği kullanabiliriz: 2sinthetacostheta = sin2x ki veren: int e ^ xsinxcosx dx = 1 / 2int e ^ xsin (2x) dx Artık parçaları bütünleştirmeyi kullanabiliriz. Formül şudur: int f (x) g '(x) dx = f (x) g (x) -int f' (x) g (x) dx f (x) = sin (x) 2x) ve g '(x) = e ^ x / 2. Formülü uygulayarak şunu elde ederiz: int e ^ x / 2sin (2x) dx = sin (2x) e ^ x / 2-int cos (2x) e ^ x dx Artık parçalara göre entegrasyon uygulayabiliriz. , bu sefer f (x) = cos (2x) ve g '(x) = e ^ x: int e ^ x / 2sin (2

İnt 1 / (x ^ 2 (2x-1)) 'in kısmi kesirlerini kullanarak nasıl entegre edilir?

2ln | 2x-1 | -2ln | x | + 1 / x + C A, B, C 'yi bulmamız gerekir, öyle ki 1 / (x ^ 2 (2x-1)) = A / x + B / x ^ 2 Tüm x için + C / (2x-1). Her iki tarafı da x ^ 2 (2x-1) ile çarparak 1 = Ax (2x-1) + B (2x-1) + Cx ^ 2 1 = 2Ax ^ 2-Ax + 2Bx-B + Cx ^ 2 1 = (2A + C) x ^ 2 + (2B-A) xB Denklem katsayıları bize {(2A + C = 0), (2B-A = 0), (- B = 1):} verir ve böylece A = -2, B = 1, C = 4. Bunu ilk denklemde değiştirirsek, 1 / (x ^ 2 (2x-1)) = 4 / (2x-1) -2 / x-1 / x ^ 2 elde ederiz. (2x-1) dx-int 2 / x dx-int 1 / x ^ 2 dx, 2ln | 2x-1 | -2ln | x | + 1 / x + C