İnt 1 / (x ^ 2 (2x-1)) 'in kısmi kesirlerini kullanarak nasıl entegre edilir?

Cevap:

# 2LN | 2x-1 | -2ln | x | + 1 / x + C #

Açıklama:

Bulmalıyız #ABC# öyle ki

# 1 / (x ^ 2 (2x-1)) = A / x + / x ^ 2 + C / (2x-1) #

hepsi için # X #.

İki tarafı da çarp # X, ^ 2 (2x-1) # almak

# 1 = Ax (2x-1) + B (2x-1) + Cc ^ 2 #

# 1 = 2Ax ^ 2Ax + 2BX-B + Cx ^ 2 #

# 1 = (2A + C) x ^ 2 + (2B-A) x-B #

Denklem katsayıları bize

# {(2A + C = 0), (2B A = 0), (- B = 1):} #

Ve böylece biz var # A = -2, B = 1, C = 4 #. Bunu ilk denklemde değiştirerek alırız.

# 1 / (x ^ 2 (2x-1)) = 4 / (2x-1) -2 / x-1 / x ^ 2 #

Şimdi, terimi terime göre entegre et

#int 4 / (2x-1) dx-int 2 / x dx-int 1 / x ^ 2 dx #

almak

# 2LN | 2x-1 | -2ln | x | + 1 / x + C #

Cevap:

Cevap # = 1 / X-2LN (| x |) + 2LN (| 2x-1 |) + C #

Açıklama:

Ayrışmayı kısmi kesirler halinde yapın

# 1 / (x ^ 2 (2x-1)) = A / x ^ 2 + B / x + C / (2x-1) #

# = (A (2x-1) + Bx (2x-1) + C (x ^ 2)) / (x ^ 2 (2x-1)) #

Paydalar aynı, sayıları karşılaştır

# 1 = A (2x-1) + Bx (2x-1) + C (x ^ 2) #

let #, X = 0 #, #=>#, # 1 = -A #, #=>#, # A = -1 #

let #, X = 1/2 #, #=>#, # 1 = C / 4 #, #=>#, # C = 4 #

Katsayıları # X ^ 2 #

# 0 = 2B + C #

# B = C / 2 = -4/2 = -2 #

Bu nedenle, # 1 / (x ^ 2 (2x-1)) = - 1 / x ^ 2-2 / x + 4 / (2x-1) #

Yani, #int (1DX) / (x ^ 2 (2x-1)) = - int (1DX) / x ^ 2-int (2DX) / x + int (4DX) / (2x-1) #

# = 1 / X-2LN (| x |) + 2LN (| 2x-1 |) + C #