İnt e ^ x sinx cosx dx nasıl entegre edilir?

Cevap:

#int e ^ xsinxcosx dx = e ^ x / 10sin (2x) -e ^ x / 5cos (2x) + C #

Açıklama:

İlk önce kimliği kullanabiliriz:

# 2sinthetacostheta = sin2x #

hangi verir:

#int e ^ xsinxcosx dx = 1 / 2int e ^ xsin (2x) dx #

Artık entegrasyonu parçalar halinde kullanabiliriz. Formül:

#int f (x) g '(x) dx = f (x) g (x) -int f' (x) g (x) dx #

izin vereceğim #f (x) = sin (2x) # ve #g '(x) = e ^ x / 2 #. Formülü uygulayarak şunu elde ederiz:

#int e ^ x / 2sin (2x) dx = günah (2x) e ^ x / 2-int cos (2x) e ^ x dx #

Şimdi entegrasyonu bir kez daha bölümler halinde uygulayabiliriz, bu sefer #f (x) cos (2x) # = ve #g '(x) = E ^ x #:

#int e ^ x / 2sin (2x) dx = sin (2x) e ^ x / 2- (cos (2x) e ^ x-int -2sin (2x) e ^ x dx) #

# 1 / 2int e ^ xsin (2x) dx = günah (2x) e ^ x / 2-cos (2x) e ^ x-2int günah (2x) e ^ x dx #

Şimdi eşitliğin iki yanında da bir entegrale sahibiz, böylece onu bir denklem gibi çözebiliriz. İlk önce, her iki tarafa da entegrali 2 kez ekleriz:

# 5 / 2int e ^ xsin (2x) dx = günah (2x) e ^ x / 2-cos (2x) e ^ x + C #

Orijinal integralde katsayının yarısı istediğimiz için, her iki tarafa bölün #5#:

# 1 / 2int e ^ xsin (2x) dx = 1/5 (günah (2x) e ^ x / 2-cos (2x) e ^ x) + C = #

# = E ^ x / 10sin (2x) -e ^ x / 5cos (2x) + C #

Cevap:

# int e ^ x sinxcosx dx = 1/10 {e ^ x sin2x -2 e ^ x cos2x} + C #

Açıklama:

Biz ararız:

# I = int e ^ x sinxcosx dx #

Kimlik kullananlar:

# günah 2x - = 2sinxcosx #

Olarak yazabiliriz:

# I = 1/2 int e ^ x sin2x dx #

# I = 1/2 I_S #

Rahatlığınız için:

# I_S = int e ^ x sin2x dx #, ve # I_C = int e ^ x cos2x dx #

Şimdi parçalarla entegrasyonu bir kez daha gerçekleştiriyoruz.

let # {(u, = e ^ x, => (du) / dx, = e ^ x), ((dv) / dx, = cos2x, => v, = 1/2 sin2x):} #

Sonra IBP formülüne geçerek aşağıdakileri elde ederiz:

# int (e ^ x) (cos2x) dx = (e ^ x) (1 / 2cos2x) - int (1 / 2sin2x) (e ^ x) dx #

#:. I_C = 1/2 e ^ x sin2x - 1/2 int e ^ x sin2x dx #

#:. I_C = 1/2 e ^ x sin2x - 1/2 I_S # ….. B}

Şimdi, iki bilinmeyenli iki eşzamanlı denklemimiz var # I_S #. ve # I_C #B A yerine A harfinin kaynağı:

# I_S = -1/2 e ^ x cos2x + 1/2 {1/2 e ^ x sin2x - 1/2 I_S} #

# = -1/2 e ^ x cos2x + 1/4 e ^ x sin2x - 1/4 I_S #

#:. 5 / 4I_S = 1/4 e ^ x sin2x -1/2 e ^ x cos2x #

#:. I_S = 4/5 {1/4 e ^ x sin2x -1/2 e ^ x cos2x} #

Giden:

# I = 1/2 I_S + C #

# = 2/5 {1/4 e ^ x sin2x -1/2 e ^ x cos2x} + C #

# = 1/10 {e ^ x sin2x -2 e ^ x cos2x} + C #