N = 1 - n = oo için toplam 1 / (n + sqrt (n)) için limit karşılaştırma testini nasıl kullanırsınız?

Cevap:

#sum_ (n = 1) ^ oo1 / (n + sqrt (n)) # farklılaşır, bu karşılaştırarak görülebilir #sum_ (n = 1) ^ oo1 / (2n) #.

Açıklama:

Bu seri pozitif sayılar toplamı olduğundan, yakınsak bir seri bulmamız gerekiyor #sum_ (n = 1) ^ (oo) a_n # öyle ki #a_n> = 1 / (n + sqrt (n)) # ve serimizin yakınsak olduğu veya böylesi farklı bir dizi bulmamız gerektiği sonucuna vardık. #a_n <= 1 / (n + sqrt (n)) # ve serimizin de farklı olduğu sonucuna vardık.

Aşağıdakileri not ediyoruz:

İçin

#n> = 1 #, #sqrt (n) '= n #.

bu nedenle

# N + sqrt (n) <2n #.

Yani

# 1 / (n + sqrt (n))> = 1 / (2n) #.

Çünkü iyi bilinir #sum_ (n = 1) ^ oo1 / n # farklılaşır, yani #sum_ (n = 1) ^ oo1 / (2n) # o zaman birbirinden uzaklaşır, çünkü birleşirse # 2sum_ (n = 1) ^ oo1 / (2n) = sum_ (n = 1) ^ oo1 / n # de bir araya gelirdi ve bu durum böyle değil.

Şimdi karşılaştırma testini kullanarak, şunu görüyoruz: #sum_ (n = 1) ^ oo1 / (n + sqrt (n)) # ıraksar.

Limit karşılaştırma testi iki seri alır, # Suma_n # ve # Sumb_n # nerede #a_n> = 0 #, # B_ngt0 #.

Eğer #lim_ (nrarroo) a_n / b_n = L # nerede #L> 0 # ve sonludur, sonra her iki seri yakınsaklığı veya her iki seri farklılaşır.

İzin vermeliyiz # A_n = 1 / (n + sqrtn) #, verilen seriden dizi. İyi bir # B_n # seçim, baskın bir işlevdir # A_n # gibi yaklaşımlar # N # büyür. Öyleyse, bırak # B_n = 1 / n #.

Bunu not et # Sumb_n # farklılaşır (harmonik seri).

Yani bunu görüyoruz #lim_ (nrarroo) a_n / b_n = lim_ (nrarroo) (1 / (n + sqrtn)) / (1 / n) = lim_ (nrarroo) n / (n + sqrtn) #. İle bölünerek devam # N / n #, bu olur #lim_ (nrarroo) 1 / (1 + 1 / sqrtn) = 1/1 = 1 #.

Sınırı beri #1#, hangisi #>0# ve tanımlanmış, görüyoruz ki # Suma_n # ve # Sumb_n # hem ayrışır hem de birleşir. Zaten bildiğimizden beri # Sumb_n # uzaklaşır, bunu söyleyebiliriz # Suma_n = sum_ (n = 1) ^ oo1 / (n + sqrtn) # de farklılaşır.