Cevap:
Teğet çizgi paralel # X # eğim olduğunda eksen (dolayısıyla # Dy / dx #) sıfırdır ve • y # eğim olduğunda eksen (tekrar, # Dy / dx #) gider # Oo # veya # -Oo #
Açıklama:
Bularak başlayacağız # Dy / dx #:
# x ^ 2 + xy + y ^ 2 = 7 #
# d / dx (x ^ 2 + xy + y ^ 2) = d / dx (7) #
# 2x + 1y + xdy / dx + 2y dy / dx = 0 #
# dy / dx = - (2x + y) / (x + 2y) #
Şimdi, # dy / dx = 0 # nuimerator olduğunda #0#Bu, aynı zamanda payda yapmamak kaydıyla #0#.
+ Y = 0 # 2x ne zaman #y = -2x #
Şimdi iki denklemimiz var:
# x ^ 2 + xy + y ^ 2 = 7 #
#y = -2x #
Çöz (yerine)
# x ^ 2 + x (-2x) + (-2x) ^ 2 = 7 #
# x ^ 2 -2x ^ 2 + 4x ^ 2 = 7 #
# 3x ^ 2 = 7 #
#x = + - sqrt (7/3) = + - sqrt21 / 3 #
kullanma #y = -2x #aldık
Eğriye teğet iki noktada yataydır:
# (sqrt21 / 3, - (2sqrt21) / 3) # ve # (- sqrt21 / 3, (2sqrt21) / 3) #
(Bu çiftin aynı zamanda paydasını yapmadığını da gözlemleyin. # Dy / dx # eşittir #0#)
Teğetin dikey olduğu noktaları bulmak için # Dy / dx # eşit tpo #0# (ayrıca pay vermeden) #0#).
Çözümden geçebiliriz, ancak denklemin simetrisini elde edeceğiz:
# X = -2y #, yani
#y = + - sqrt21 / 3 #
ve teğetin dikey olduğu eğrideki noktalar şunlardır:
# (- (2sqrt21) / 3, sqrt21 / 3) # ve # ((2sqrt21) / 3, -sqrt21 / 3) #
Bu arada. Teknolojiye sahip olduğumuz için, bu döndürülmüş elipsin grafiği: # + - sqrt21 / 3 ~~ + - 1,528 # grafikte görebileceğiniz
grafik {x ^ 2 + xy + y ^ 2 = 7 -11.3, 11.2, -5.665, 5.585}
Cevap:
Sadece ortaokul matematik kullanarak alıyorum
X eksenine paralel teğetler:
# (- sqrt {7/3}, 2sqrt {7/3}) ve (sqrt {7/3}, -2sqrt {7/3}) #
Y eksenine paralel olan teğetler:
# (- 2sqrt {7/3}, sqrt {7/3}) ve (2sqrt {7/3}, -sqrt {7/3}) #
Açıklama:
Jim'in cevabına baktığımda, standart bir hesap işlemine benziyordu. Fakat yardımcı olamadım, fakat cebirsel eğrilerin tanjantlarını bulmak isteyen ama hala hesaptan uzakta olan tüm Ortaokullar için üzülüyorum.
Neyse ki bu problemleri sadece Cebir I kullanarak yapabilirler.
# X, ^ 2 + xy + y ^ 2 = 7 #
Bu ilk örnek için biraz karmaşık olabilir, ama onunla devam edelim. Eğrimizi şu şekilde yazıyoruz: #f (x, y) = 0 # nerede
#f (x, y) = x ^ 2 + xy + y ^ 2-7 #
Hadi alalım # (R, s) # bir nokta olarak # F #. Araştırmak istiyoruz # F # yakın # (R, s) # öyleyse yazıyoruz
#f (x, y) = f (r + (x-r), s + (y-s)) #
# = (r + (x-r)) ^ 2 + (r + (x-r)) (s + (y-s)) + (s + (y-s)) ^ 2-7 #
Genişliyoruz, ancak fark terimlerini genişletmiyoruz # X-R # ve # Y-s #. Bunları sağlam tutmak istiyoruz, böylece daha sonra ortadan kaldırmak için deneyler yapabiliriz.
#f (x, y) = r ^ 2 + 2r (xr) + (xr) ^ 2 + (rs + s (xr) + r (ys) + (xr) (ys)) + s ^ 2 + 2s (ys) + (ys) ^ 2-7 #
# = (r ^ 2 + rs + s ^ 2-7) + (2r + s) (xr) + (2s + r) (ys) + (xr) ^ 2 + (ys) ^ 2 + (xr) (ys) #
# = f (r, s) + (2r + s) (x-r) + (2s + r) (y-s) + (x-r) ^ 2 + (y-s) ^ 2 + (x-r) (y-s) #
Dedik # (R, s) # açık # F # yani #f (r, s) = 0 #.
#f (x, y) = (2r + s) (x-r) + (2s + r) (y-s) + (x-r) ^ 2 + (y-s) ^ 2 + (x-r) (y-s) #
Terimleri dereceye göre sıraladık ve yaklaşımlarla ilgili deneyler yapabiliriz. # F # yakın # (R, s) # daha yüksek dereceleri düşürerek. Fikir ne zaman # (X, y) # yakınında # (R, s) # sonra # X-R # ve # Y-s # küçük ve kareleri ve ürünleri daha küçük.
Sadece bazı yaklaşımlar üretelim # F #. Dan beri # (R, s) # eğri üzerinde, sürekli yaklaşım, tüm fark terimlerini bırakarak, # f_0 (x, y) = 0 #
Bu özellikle heyecan verici değil, ama bize doğru yakın noktaları gösteriyor # (R, s) # için sıfıra yakın bir değer verecek # F #.
Daha ilginç olalım ve doğrusal terimleri koruyalım.
# f_1 (x, y) = (2r + s) (x-r) + (2s + r) (y-s) #
Bunu sıfıra ayarladığımızda, en iyi doğrusal yaklaşımı elde ederiz. # F # yakın # (R, s), # hangisi Teğet çizgisi için # F # en # (R, s). # Şimdi bir yerlere geliyoruz.
# 0 = (2r + s) (x-r) + (2s + r) (y-s) #
Diğer yaklaşımları da dikkate alabiliriz:
# f_2 (x, y) = (2r + s) (x-r) + (2s + r) (y-s) + (x-r) ^ 2 #
# f_3 (x, y) = (2r + s) (x-r) + (2s + r) (y-s) + (x-r) ^ 2 + (x-r) (y-s) #
Bunlar, üniversite matematik öğrencilerinin zorlukla elde edebileceği yüksek dereceli teğetlerdir. Biz kolej hesabının ötesine geçtik.
Daha fazla yaklaşım var, ama bunun uzun sürdüğü konusunda uyarıldım. Şimdi sadece Cebir I kullanarak hesabın nasıl yapıldığını öğrendiğimize göre, problemi yapalım.
Teğet çizginin paralel olduğu noktaları bulmak istiyoruz. # X # eksen ve • y # eksen.
Teğet çizgimizi de bulduk # (R, s) # olduğu
# 0 = (2r + s) (x-r) + (2s + r) (y-s) #
Paralel # X # eksen bir denklem anlamına gelir #y = metin {sabit} #. Yani katsayısı açık # X # sıfır olmalı:
# 2r + s = 0 #
#s = -2r #
# (R, s) # yani eğride #f (r, s) = 0 #:
# r ^ 2 + rs + s ^ 2-7 = 0 #
# r ^ 2 + r (-2r) + (-2r) ^ 2 - 7 = 0 #
#r = pm sqrt {7/3} #
Dan beri # S = -2R # puanlar
# (- sqrt {7/3}, 2sqrt {7/3}) ve (sqrt {7/3}, -2sqrt {7/3}) #
Benzer şekilde y ekseni anlamına gelir # 2s + r = 0 # problemin simetrisi nedeniyle sadece x ve y'yi değiştirmeli. Yani diğer noktalar
# (- 2sqrt {7/3}, sqrt {7/3}) ve (2sqrt {7/3}, -sqrt {7/3}) #
Kontrol.
Nasıl kontrol edilir? Bir Alpha komplo yapalım.
arsa x ^ 2 + xy + y ^ 2 = 7, x = -sqrt {7/3}, y = 2 sqrt {7/3}, x = 2sqrt {7/3}, y = -sqrt {7/3 }
İyi görünüyor. Cebirsel eğrilerde hesap. Ortaokul için oldukça iyi.
