X, 0 ^ + 'a yaklaştıkça ((1 / x) - ((1) / (e ^ (x) -1)) sınırı nedir?

Cevap:

# lim_ (x rarr 0 ^ +) 1 / x- (1) / (e ^ x-1) = 1/2 #

Açıklama:

edelim:

# f (x) = 1 / x- (1) / (e ^ x-1) #

# "" = ((e ^ x-1) - (x)) / (x (e ^ x-1)) #

# "" = (e ^ x-1 - x) / (xe ^ x-x) #

O zaman ararız:

# L = lim_ (x rar 0 ^ +) f (x) #

# = lim_ (x rarr 0 ^ +) (e ^ x-1 - x) / (xe ^ x-x) #

Bu belirsiz bir formda olduğu gibi #0/0# L'Hôpital'in kuralını uygulayabiliriz.

# L = lim_ (x rar 0 ^ +) (d / dx (e ^ x-1 - x)) / (d / dx (xe ^ x-x)) #

# = lim_ (x rarr 0 ^ +) (e ^ x-1) / (xe ^ x + e ^ x - 1) #

Yine, bu belirsiz bir formda #0/0# L'Hôpital'in kuralını tekrar uygulayabiliriz:

# L = lim_ (x rarr 0 ^ +) (d / dx (e ^ x-1)) / (d / dx (xe ^ x + e ^ x - 1)) #

# = lim_ (x rarr 0 ^ +) (e ^ x) / (xe ^ x + e ^ x + e ^ x) #

# = (e ^ 0) / (0 + e ^ 0 + e ^ 0) #

# = 1/2 #