R yarıçapı alanına sığabilecek en büyük yarıçap, r ve yükseklik h değeri nedir?

Cevap:

İsterseniz silindirin maksimum hacmi bulunur

# r = sqrt (2/3) R #, ve #h = (2R) / sqrt (3) #

Bu seçim azami silindir hacmine yol açar:

# V = (4pi R ^ 3) / (3sqrt (3)) #

Açıklama:

``

Silindirin ortasından bir kesit düşünün ve silindirin yüksekliğinin olmasına izin verin. # H #, ve ses # V #, o zaman biz var;

# H # ve # R # değişebilir ve # R # bir sabittir. Silindirin hacmi standart formülle verilmiştir:

# V = pir ^ 2h #

Kürenin yarıçapı, # R # kenarlı üçgenin hipotenüsü # R # ve 1. / 2s #, yani Pisagor kullanarak, biz var:

# R ^ 2 = r ^ 2 + (1 / 2h) ^ 2 #

#:. R ^ 2 = r ^ 2 + 1/4;

#:. 2 = R ^ 2-1 / 4h ^ 2 #

Bunu almak için hacim denklemimizin yerine şunu kullanabiliriz:

# V = pir ^ 2h #

#:. V = pi (R ^ 2-1 / 4h ^ 2) h #

#:. V = pi R ^ 2h-1 / 4pih ^ 3 #

Şimdi hacmimiz var. # V # Tek değişkenli bir fonksiyon olarak # H #, wrt değerini maksimize etmek istediğimiz # H # çok farklılaşan wrt # H # verir:

# (dV) / (dh) = piR ^ 2-3 / 4pih ^ 2 #

Minimumda veya maksimumda, # (DV) / (dh) 0 # = yani:

# pi R ^ 2-3 / 4pih ^ 2 = 0 #

#:. 3 / 4h ^ 2 = R ^ 2 #

#:. h ^ 2 = 4/3 R ^ 2 #

#:. h = sqrt (4/3 R ^ 2) "" # (Açıkçası biz kök + te istiyoruz)

#:. h = (2R) / sqrt (3) #

Bu değer ile # H # Biz alırız:

# r ^ 2 = R ^ 2-1 / 4 4/3 R ^ 2 #

#:. 2 = R ^ 2-http: // 3 R ^ 2 #

#:. 2 = 2 / 3R ^ 2 #

#:. sqrt (2/3) R #

Bu değerin maksimum (maksimum) bir hacme yol açtığını kontrol etmeliyiz, Bunu ikinci türevi inceleyerek yaparız:

# (dV) / (dh) = piR ^ 2-3 / 4pih ^ 2 #

#:. (d ^ 2V) / (dh ^ 2) = -6 / 4pih #

Ve benzeri #sa> 0 # Şu sonuca varıyoruz ki # (d ^ 2V) / (dh ^ 2) <0 # ve tespit edilen kritik noktanın aranan en üst düzeye çıkması.

Bu nedenle, eğer seçersek, silindirin maksimum hacmi bulunur

# r = sqrt (2/3) R #, ve #h = (2R) / sqrt (3) #

Bu seçim ile maksimum hacim olarak;

# V = piR ^ 2 ((2R) / sqrt (3)) -1 / 4pi ((2R) / sqrt (3)) ^ 3 #

#:. V = (2pi R ^ 3) / sqrt (3) - 1/4pi ((8R ^ 3) / (3sqrt (3))) #

#:. V = (2pi R ^ 3) / sqrt (3) - (2piR ^ 3) / (3sqrt (3)) #

#:. V = (4pi R ^ 3) / (3sqrt (3)) #

Ve tabii ki Kürenin hacmi aşağıdakiler tarafından verilmiştir:

#V_s = 4 / 3piR ^ 3 #

Bu, Calculus'un keşfedilmesinden çok önce Yunanlı matematikçiler tarafından incelenen çok ünlü bir sorundur. İlginç bir özellik, silindir hacminin kürenin hacmine oranıdır:

# V / V_s = ((4pi R ^ 3) / (3sqrt (3))) / (4 / 3piR ^ 3) = 1 / sqrt (3) #

Başka bir deyişle, hacimlerin oranı tamamen # R #, # R # veya # H # Bu oldukça şaşırtıcı bir sonuçtur!