X'in (1 + a / x) ^ (bx) 'nin sonsuzluğuna yaklaşmasıyla ilgili limit nedir?

Logaritma ve l'Hopital Kuralı'nı kullanarak, #lim_ {x to infty} (1 + a / x) ^ {bx} = e ^ {ab} #.

Değişim kullanarak # T = a / x # Veya eşdeğer olarak #, X = a / ton #, # (1 + a / x) AD {bx} = (1 + T) ^ {{ab} / ton} #

Logaritmik özellikleri kullanarak,

# = e ^ {ln (1 + t) ^ {{ab} / t}} = e ^ {{ab} / t ln (1 + t)} = e ^ {ab {ln (1 + t) } / t} #

'Hopital'in Kuralı'na göre, #lim_ {t ila 0} {ln (1 + t)} / {t} = lim_ {t ila 0} {1 / {1 + t}} / {1} = 1 #

Bu nedenle, #lim_ {x to infty} (1 + a / x) ^ {bx} = e ^ {ab lim_ {t - 0} {ln (1 + t)} / {t}} = e ^ {ab} #

(Not: #t ila 0 # gibi #x infty'e #)