12 uzunluğa sahip bir akor, daire üzerinde pi / 12'den pi / 6 radyanlara kadar uzanır. Dairenin alanı nedir?

Cevap:

Bir dairenin alanı

#S = (36pi) / sin ^ 2 (pi / 24) = (72pi) / (1-sqrt ((2 + sqrt (3)) / 4)) #

Açıklama:

Yukarıdaki resim problemde belirlenen koşulları yansıtıyor. Tüm açılar (daha iyi anlaşılması için büyütülmüş) yatay X ekseninden sayılan radyan cinsindendir #ÖKÜZ# saat yönünün.

# AB = 12 #

# / _ XOA = pi / 12 #

# / _ XOB = pi / 6 #

# OA = OB = r #

Alanını belirlemek için dairenin yarıçapını bulmalıyız.

Bu akoru biliyoruz # AB # uzunluğu var #12# ve yarıçaplar arasındaki açı # OA # ve # OB # (nerede #O# bir dairenin merkezidir)

#alpha = / _ AOB = pi / 6 - pi / 12 = pi / 12 #

İrtifa inşa et # OH # bir üçgenin #Delta AOB # tepe noktasından #O# yana # AB #. Dan beri #Delta AOB # ikizkenar # OH # ortanca ve açılı bir bisector:

#, AH = YP = (AB) / 2 = 6 #

# / _ AOH = / _ BOH = (/ _ AOB) / 2 = pi / 24 #

Dik bir üçgen düşünün #Delta AOH #.

Bu katetusu biliyoruz # AH = 6 # ve açı # / _ AOH = pi / 24 #.

Bu nedenle, hipotenüs # OA #, çevremizin yarıçapı olan # R #, eşittir

| R = OA = (AH) / sin (/ _ AOH) = 6 / sin (pi / 24) #

Yarıçapı bilerek bir alan bulabiliriz:

#S = pi * r ^ 2 = (36pi) / sin ^ 2 (pi / 24) #

Bunu trigonometrik fonksiyonlar olmadan ifade edelim.

Dan beri

# sin ^ 2 (phi) = (1-cos (2phi)) / 2 #

bölgeyi şu şekilde ifade edebiliriz:

#S = (72pi) / (1-cos (pi / 12)) #

Başka bir trigonometrik kimlik:

# cos ^ 2 (phi) = (1 + cos (2phi)) / 2 #

#cos (phi) = sqrt (1 + cos (2phi)) / 2 #

Bu nedenle,

#cos (pi / 12) = sqrt (1 + cos (pi / 6)) / 2 = #

# = sqrt (1 + sqrt (3) / 2) / 2 = sqrt ((2 + sqrt (3)) / 4) #

Şimdi bir dairenin alanını şu şekilde temsil edebiliriz:

#S = (72pi) / (1-sqrt ((2 + sqrt (3)) / 4)) #

Cevap:

Başka bir yaklaşım aynı sonuç

Açıklama:

Yukarıdaki şekilde 12 uzunluktaki akor AB,# Pi / 12 # için # Pi / 6 # yarıçapı dairesinde r ve merkez O, köken olarak alınmıştır.

# / _ AOX = pi / 12 # ve # / _ BOX = pi / 6 #

Yani A kutupsal koordinatı # = (R, pi / 12) # ve B # = (R, pi / 6) #

Polar koordinat için mesafe formülü uygulamak

AB akorunun uzunluğu,12. = sqrt (R ^ 2 + r ^ 2-2 * r ^ 2 * cos (/ _ KUTUSU - / _ AOX) #

# => 12 ^ 2, R ^ 2 + r ^ 2-2 * r ^ 2 * cos (pi / 6-pi / 12) #

# => 144 = 2r ^ 2 (1 Cos (pi / 12)) #

# => R ^ 2 = 144 / (2 (1 Cos (pi / 12)) #

# => R ^ 2 = cancel144 ^ 72 / (cancel2 (1-cos (p / 12)) #

# => R ^ 2 = 72 / (1-cos (p / 12)) #

# => R ^ 2 = 72 / (1-sqrt (1/2 (1 + COS (2 x Pi / 12)) #

# => R ^ 2 = 72 / (1-sqrt (1/2 (1 + COS (pi / 6)) #

# => R ^ 2 = 72 / (1-sqrt (1/2 (1 + SQRT3 / 2) #

Çemberin alanı

# = Pi * r ^ 2 #

# = (72pi) / (1-sqrt (1/2 (1 + SQRT3 / 2) #

# = (72pi) / (1-sqrt ((2 + SQRT3) / 4) #