Bir ikizkenar üçgen A, B ve C taraflarına sahiptir ve B ve C taraflarının uzunlukları eşitdir. A tarafı (1, 4) 'den (5, 1)' e giderse ve üçgenin alanı 15 ise, üçgenin üçüncü köşesinin olası koordinatları nelerdir?

Cevap:

İki köşe 5 uzunluğunda bir taban oluşturur, bu nedenle irtifanın alan 15'in alması için 6 olması gerekir. Ayak noktaların orta noktasıdır ve dik yönde altı birim # (33/5, 73/10)# veya #(- 3/5, - 23/10) #.

Açıklama:

Profesyonel ipucu: Üçgen taraflar için küçük harflerin ve üçgen köşeleri için büyük harflerin kurallarına uymaya çalışın.

İki nokta ve bir ikizkenar üçgen alanı verilmiştir. İki nokta taban yapar, # B = sqrt {(5-1) ^ 2 + (1-4) ^ 2} = 5. #

Ayak # F # İrtifa, iki noktanın orta noktasıdır, # F = ((1 + 5) / 2, (4 + 1) / 2) = (3, 5/2) #

Noktalar arasındaki yön vektörü #(1-5, 4-1)=(-4,3)# sadece hesaplandığı gibi 5 büyüklüğü ile. Noktaları değiştirerek ve bunlardan birini göz ardı ederek dikey yön vektörünü alırız: #(3,4)# aynı zamanda beş büyüklüğüne de sahip olmalıdır.

Bölgeden beri # A = kırık 1 2b s = 15 # alırız # H = (* 15 2) /b=6.#

Yani hareket etmemiz gerek #6# birimlerinden # F # her iki dikey yönde dediğimiz üçüncü köşemizi almak için # C #:

# C = F pm 6 frac {(3,4)} {5} = (3, 5/2) pm 6/5 (3,4) #

# C = (33/5, 73/10) veya C = (- - 3/5, - 23/10) #

Kontrol: #(5,1)-(1,4)=(4,-3)#

# (- 3/5, - 23/10)-(1,4)=(-8/5,-63/10)#

İmzalı alan çapraz ürünün yarısıdır.

# A = kırılma 1 2 (4 (-63/10) - (-3) (- 8/5)) = -15 dört sqrt {} #

Son bu, ama cevabı biraz genelleyelim. İkizkenar olduğunu unutalım. C (x, y) 'ye sahipsek, alan ayakkabı bağı formülü ile verilir:

# A = kırık 1 2 | (1) (1) - (4) (5) + 5y-x + 4x-y | = 1/2 | 3x + 4y - 19 | #

Alan #15#:

# pm 15 = 1/2 (3x + 4y - 19) #

# 19 pm 30 = 3x + 4y #

# 49 = 3x + 4y # veya # -11 = 3x + 4y #

Öyleyse, C köşesi bu iki paralel çizgiden herhangi birinde ise, alan 15 üçgenine sahip oluruz.

let # PR = A # aşağıdaki gibi bitiş noktalarının koordinatlarına sahip ikizkenar üçgeninin tarafı olmak

#Pto (1,4) # ve #Rto (5,1) #

Üçgenin üçüncü noktasının koordinatlarının # (X, y) #.

Gibi # (X, y) # P ve R'ye eşit miktarda yazabiliyoruz

#, (X-1) ^ 2 + (y-4) ^ 2 = (X-5) ^ 2 + (y-1) ^ 2 #

# => X ^ 2-2x + 1 + y ^ 2-8y + 16 = x ^ 2-10x + 25 + y ^ 2-2y + 1 #

# => 8x-6y = 9 #

# => X = (+ 6y 9) / 8 …… 1 #

Tekrar # (X, y) # P ve R'den eşit olduğu için, dikey düşme # (X, y) # için # PR # ikiye bölmelisiniz, dik veya orta noktanın bu ayağını # PR # olmak # T #

Yani koordinatları #Tto (3,2.5) #

Şimdi ikizkenar üçgenin yüksekliği

# H = sqrt ((x-3) ^ 2 + (y-2.5) ^ 2) #

Ve ikizkenar üçgenin tabanı

# PR = A = sqrt ((1-5) ^ 2 + (4-1) ^ 2) = 5 #

Demek ki problem onun alanı

1. / 2xxAxxH = 15 #

# => H = 30 / A = 30/5 = 6 #

#sqrt ((x-3) ^ 2 + (y-2.5) ^ 2) = 6 #

# =>, (X-3) ^ 2 + (y-2.5) ^ 2 = 36 …. 2 #

2 ve 1 'e göre

# ((9 + 6y) / 8-3) ^ 2 + (y-2.5) ^ 2 = 36 #

# => 1/64 (6y-15) ^ 2 + (y-2.5) ^ 2 = 36 #

# => (6y-15) ^ 2 + 64 (y-2.5) ^ 2, 36xx64 #

# => 36y ^ 2-180y + 225 + 64y ^ 2-320y + 400 = 48 ^ 2 #

# => 100Y ^ 2-500y + 625 = 48 ^ 2 #

# => Y ^ 2-5y + 6.25 = 4.8 ^ 2 #

# => (Y-2.5) ^ 2 = 4.8 ^ 2 #

# => Y = 2.5pm4.8 #

Yani # y = 7.3 ve y = -2.3 #

ne zaman • y = 7.3 #

#, X = (9 + 6xx7.3) /8=6.6#

ne zaman • y = -2.3 #

#, X = (9 + 6xx (-2.3)) / 8 = -0.6 #

Böylece üçüncü noktanın koordinatları olacak

# (6.6,7.3) - "Şekildeki Q" #

VEYA

# (- 0.6, -2.3) ila "Şekil S"