Soru # 242a2

Cevap:

Zamanında kapasitörde depolanan enerji için # T # sahibiz #E (t) == e (0) exp (-2t / (CR)) # nerede #E (0) # başlangıçtaki enerjidir, # C # kapasite ve # R # kapasitörün iki tarafını bağlayan telin direnci.

Açıklama:

Bu soruyu cevaplamadan önce bazı temel kavramları gözden geçirelim. Elbette, kapasitörde depolanan enerjiyi veya kapasitörde depolanan yükün yarattığı elektrik alanında depolanan enerjiyi bilmemiz gerekir. Bunun için formül bizde # E = 1 / 2Q ^ 2 / C # ile # C # kapasitörün kapasitesi ve # Q # kapasitör plakalarından birinde depolanan yük. 1

Dolayısıyla, enerjinin nasıl azaldığını bilmek için, şarjın nasıl azaldığını bilmemiz gerekir. Bunun için akılda tutmamız gereken birkaç şey var. İlk şey, şarjın ancak herhangi bir yere gidebilmesi durumunda düşebileceğidir. En basit senaryo, iki plakanın bir tel üzerinden bağlanmasıdır, böylece plakalar yükü değiştirebilir, böylece nötr hale gelirler. İkincisi, telin dirençsiz olduğunu varsayarsak, şarjın anında hareket edebilmesidir, böylece enerji de bu oranda sıfıra düşer. Bu çok sıkıcı bir durum olduğundan ve ayrıca gerçekçi olmamakla birlikte, telin bir miktar direnç gösterdiğini varsayıyoruz. # R #kapasitör plakalarını dirençli bir dirençle bağlayarak modelleyebiliyoruz. # R # dirençsiz teller kullanarak.

Şimdi sahip olduğumuz, aşağıda görülen RC devresi. Depolanan yükün nasıl değiştiğini bulmak için bazı diferansiyel denklemleri yazmamız gerekir. Okuyucunun matematikte ne kadar uzman olduğundan emin değilim, bu yüzden lütfen aşağıdaki bölümün size net gelmediğini bana bildirin ve daha ayrıntılı olarak açıklamaya çalışacağım.

Öncelikle, kablo boyunca yürürken, kapasitörde ve dirençte iki sıçrama elektrik potansiyeli (voltaj) yaşadığımızı not ediyoruz. Bu atlar tarafından verilir # DeltaV_C = S / C # ve # DeltaV_R = İR # sırasıyla 1. Başlangıçta bir akım olmadığını not ediyoruz, bu yüzden direnç üzerindeki potansiyel fark 0'dır, ancak göreceğimiz gibi, ücretler hareket etmeye başladığında bir akım olacaktır. Şimdi bir noktadan başlayarak devrenin etrafından dolaştığımız zaman tekrar aynı noktaya geleceğimizi, çünkü bir devrenin içindeyiz. Bu tek noktada potansiyel iki kere aynıdır, çünkü aynı noktadadır. (Devre boyunca yürüdüğümüzü söylerken, tam anlamıyla demek istemiyorum, bunun yerine devredeki gerilim sıçramalarını bir zamanda kontrol ediyoruz, bu nedenle devre boyunca yürürken zaman geçmiyor, bu nedenle argüman geçerli olsa bile gerilim zamanla değişir.)

Bu, toplam potansiyel sıçramanın sıfır olduğu anlamına gelir. Yani # 0 = DeltaV_R + DeltaV_C = IR + S / C #. Şimdi ne düşünüyoruz? #BEN#, mevcut. Akım hareketli yüktür, bir kapasitör plakasından pozitif yük alır ve diğerine iletir. (Aslında çoğu zaman tersidir, ama bu sorunun matematiği için önemli değil.) Bu, akımın plakalar üzerindeki sorumlu değişikliğe, yani # I = (dq) / dt #. Bunu yukarıdaki denklemde değiştirmek bize # (Dq) / DTR + Q / C = 0 #, bu demektir ki # (Dq) / dt = -Q / (CR) #. Bu bir lineer birinci dereceden diferansiyel denklem olarak adlandırılır. Yükteki değişimin, o zamanki bedelin değeri ile doğrusal bir şekilde belirlenmesini sağlar; yani, eğer ücret iki kat daha büyükse, ücretteki değişimin de iki kat daha büyük olacağı anlamına gelir. Bu denklemi hesaplamayı akıllıca kullanarak çözebiliriz.

# (Dq) / dt = -Q / (CR) #, varsayıyoruz # Qne0 #başlangıçta olmadığı gibi, ve ortaya çıkacağı gibi, asla olmayacak. Bunu kullanarak söyleyebiliriz 1. / S (dq) / dt = -1 / (CR) #. Bilmek # Q # bir zamanda # T # (Diğer bir deyişle #Q (t), #denklemi şu şekilde entegre ediyoruz: # İnt_0 ^ t1 / (S (t)) (dK (t)) / (dt ') dt' = int_0 ^ t1 / (CR) dt '= - t / (CR) # dan beri # C # ve # R # sabittir. # İnt_0 ^ t1 / (S (t)) (dK (t)) / (dt ') dt' = int_ (S (0)) ^ (Q (t)) (dq) / Q = İn ((Q (t)) / (S (0))) # Değişkenlerin değişimi yoluyla. Bunun anlamı #ln ((Q (t)) / (S (0))) = - t / (CR) #, yani #Q (t) = Q, (0) exp (-t / (CR)) #.

Son olarak, bunu enerjinin denkleminde yerine koymamız gerekiyor:

#E (t) = 1/2 (Q (t) ^ 2) / C = 1/2 (S (0) ^ 2) / cexp (-2t / (CR)) = E (0) exp (-2t / (CR)) #.

Böylece enerji zamanla katlanarak düşer. Gerçekten de görüyoruz ki # R # sıfıra gidecekti #E (t), # anında 0'a giderdi.

1 Griffiths, David J. Elektrodinamiğe Giriş. Dördüncü baskı. Pearson Eğitim Sınırlı, 2014