Cevap:
Yakınlaşır # 1 + i # (Ti-83 grafik hesap makinemde)
Açıklama:
let # S = sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + …}}}}} #
Birincisi, bu sonsuz dizinin yakınsak olduğu varsayılarak (yani, S'nin var olduğunu ve karmaşık sayının değerini aldığını varsayarak), # S ^ 2 = -2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + …}}}}}
# S ^ 2 + 2 = 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + …}}}} #
# frac {S ^ 2 + 2} {2} = sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + …}}}}
# frac {S ^ 2 + 2} {2} = S #
Ve eğer S için çözerseniz:
# S ^ 2 + 2 = 2S, S ^ 2 - 2S + 2 = 0 #
ve ikinci dereceden formülü uygulayarak elde edersiniz:
# S = frak {2 pm sqrt {4-8}} {2} = frac {2 pm sqrt {-4}} {2} = frac {2 pm 2i} {2} = Öğleden sonra 1
Genellikle karekök fonksiyonu pozitif değeri alır. # S = 1 + i #
Böylece yakınsaksa yakınsak olması gerekir. # 1 + i #
Şimdi yapmanız gereken tek şey birleştiğini kanıtlamak veya benim gibi tembel iseniz o zaman takabilirsiniz # sqrt {-2} # hayali sayıları idare edebilecek ve yineleme ilişkisini kullanabilecek bir hesap makinesine:
# f (1) = sqrt {-2} #
# f (n + 1) = sqrt {-2 + 2 sqrt {f (n)} #
Bunu Ti - 83'ümde defalarca tekrarladım ve örneğin yaklaştığım 20 kez tekrarladıktan sonra daha da yaklaştığını gördüm.
# 1,000694478 + 1.001394137i #
oldukça iyi yaklaşım
