A üçgeni 9'lu bir alana ve uzunlukları 6 ve 9'un iki tarafına sahiptir. B üçgeni A üçgenine benzer ve uzunluğu 12 12 olan bir kenarı vardır. B üçgeninin maksimum ve minimum olası alanları nelerdir?

Cevap:

Min # = frac {144 (13 -8 sqrt {2})} {41} yaklaşık 5.922584784 … #

maksimum # = frac {144 (13 + 8 sqrt {2})} {41} yaklaşık 85.39448839 … #

Açıklama:

Verilen:

# Alan _ { triangleA} = 9 #

Yan uzunlukları # triangleA # Hangi # X, Y, Z #

# X = 6, Y = 9 #

Yan uzunlukları # triangleB # Hangi # U, V, W #

#U = 12 #

# triangle A text {benzer} üçgen B #

önce çözmek AZ-:

Heron's Formülünü kullanın: # A = sqrt {S (S - A) (S - B) (S - C) # nerede # S = kırılma {A + B + C} {2} #, alan 9 alt ve yan uzunlukları 6 ve 9.

# S = kırılma {15 + z} {2} #

# 9 = sqrt {(frak {15 + Z} {2}) (frak {Z + 3} {2}) (frak {Z - 3} {2}) (frak {15 - z} { 2}) #

# 81 = frak {(225-Z ^ 2) (Z ^ 2 - 9)} {16} #

# 1296 = -Z ^ 4 + 234Z ^ 2-2025 #

# -Z ^ 4 + 234Z ^ 2-3321 = 0 #

let # u = Z ^ 2 #, # -u ^ 2 + 234u-3321 = 0 #

ikinci dereceden formül kullan

# u = frak b pm sqrt {b ^ 2-4ac}} {2a} #

# u = 9 (13-8 sqrt {2}), u = 9 (8 sqrt {2} +13) #

# Z = sqrt {u} # Olumsuz çözümleri şu şekilde reddet # Z> 0 #

# Z = 3 sqrt {13-8 sqrt {2}}, Z = 3 sqrt {8 sqrt {2} +13} #

Böylece # Z yaklaşık 3.895718613 # ve # 14.79267983 # sırasıyla

# çünkü üçgen A text {benzer} üçgen B, Alan _ { üçgen B} = k ^ 2 * Alan _ { triangleA} # nerede # K yeniden boyutlandırma faktörüdür

# k = 12 / s # artan düzende düzenlendiğinde: {3 sqrt {13-8 sqrt {2}}, 6, 9,3 sqrt {8 sqrt {2} +13}} # # içinde

veya ondalık biçimde: # # {3.895718613, 6, 9, 14,79267983’de #

Değeri daha büyük # s # Alan ne kadar küçük ve o kadar küçük # s # Alan ne kadar büyük olursa

Böylece Alan seçimini en aza indirmek için # s = 3 sqrt {13-8 sqrt {2}} #

ve Alan seçimini en yükseğe çıkarmak için # s = 3 sqrt {8 sqrt {2} +13} #

Böylece, minimum alan # = 9 * frac {12} {3 sqrt {8 sqrt {2} +13}} ^ 2 #

# = frac {144 (13 -8 sqrt {2})} {41} yaklaşık 5.922584784 … #

ve maksimum alan # = 9 * frac {12} {3 sqrt {13-8 sqrt {2}}} ^ 2 #

# = frac {144 (13 + 8 sqrt {2})} {41} yaklaşık 85.39448839 … #