Rengin köklerini matematiksel olarak türet ((beyaz) ("d") y = x ^ 3-3x-1 = 0?

Cevap:

#x = 2 cos (pi / 9 + (2npi) / 3) "" # için #n = 0, 1, 2 #

Açıklama:

Verilen:

# x ^ 3-3x-1 = 0 #

Trigonometrik ikame

Bu kübik var beri #3# gerçek sıfır, Cardana'nın metodu karmaşık sayıların indirgenemez küp köklerini içeren ifadelerle sonuçlanacaktır. Cardano'nun yöntemi yanlış değil, fakat küp kökleri basit bir şekle sahip olmadıkça, çok kolay değil.

Bu gibi durumlarda bir alternatif olarak, bir trigonometrik ikame kullanmayı tercih ederim.

edelim:

#x = k cos teta #

Hile seçmek # K sonuçta ortaya çıkan ifade içerecek şekilde # 4 cos ^ 3 teta - 3 cos teta = cos 3 teta #.

Sahibiz:

# 0 = x ^ 3-3x-1 #

#color (white) (0) = k ^ 3 cos ^ 3 teta - 3k cos theta - 1 #

#color (white) (0) = k (k ^ 2 cos ^ 3 teta - 3 cos teta) - 1 #

#color (white) (0) = 2 (4 cos ^ 3 teta - 3 cos theta) - 1 "" # ile # K = 2 #

#color (beyaz) (0) = 2cos 3theta - 1 #

Yani:

#cos 3 theta = 1/2 #

Yani:

# 3 theta = + -pi / 3 + 2npi "" # herhangi bir tamsayı için # N #

Yani:

#theta = + -pi / 9 + (2npi) / 3 "" # herhangi bir tamsayı için # N #

Bu verecek #3# farklı olası değerleri #x = k cos teta #…

#x = 2 cos teta = 2 cos (pi / 9 + (2npi) / 3) "" # için #n = 0, 1, 2 #.