Mor gölgeli alanın eşkenar üçgenin (sarı şeritli daire) çevresine eşit olduğunu kanıtlayın.

Cevap:

Açıklama:

İncir alanı # Pir ^ 2 #.

Hipotenüslü dik üçgene dikkat çekmek # R # ve bacak # R # eşkenar üçgenin tabanında, trigonometri veya #30 -60 -90 # doğru üçgenler arasındaki ilişkiyi kurabiliriz # R = 2r #.

Ters açının # R # olduğu #30 # eşkenar üçgenden beri #60 # açı ikiye bölündü.

Bu aynı üçgen, eşkenar üçgenin yan uzunluğunun yarısı kadar olduğunu göstermek için Pisagor teoremi ile çözülebilir. #sqrt (R ^ 2-r ^ 2) = sqrt (4r ^ 2-r ^ 2) = rsqrt3 #.

Şimdi eşkenar üçgenin yarısını dik bir üçgen olarak inceleyerek, yüksekliği görüyoruz. # H # eşkenar üçgenin # R # ilişkiyi kullanmak #tan (60) s / (rsqrt3) # =. Dan beri #tan (60) = SQRT3 #, bu olur # H / (rsqrt3) = SQRT3 # yani # H = 3r #.

Eşkenar üçgenin alanı o zaman 1. / 2BH #ve onun tabanı # 2rsqrt3 # ve yüksekliği # 3r #. Böylece, onun alanı # 1/2 (2rsqrt3) (3R) = 3r ^ 2sqrt3 #.

Daha küçük gölgeli bölgenin alanı, eşkenar üçgenin eksi incircle alanının üçte birine eşittir veya # 1/3 (3r ^ 2sqrt3-pir ^ 2) # hangi eşdeğer # R ^ 2 ((3sqrt3-pi) / 3) #.

Büyük dairenin alanı # Pir ^ 2 = pi (2r) ^ 2 = 4pir ^ 2 #.

Büyük gölgeli bölgenin alanı, büyük dairenin alanının eksi eşkenar üçgenin alanını üçte bir oranında veya # 1/3 (4pir ^ 2-3r ^ 2sqrt3) # hangi basitleştirir # R ^ 2 ((4pi-3sqrt3) / 3) #.

Gölgeli alanın toplam alanı # R ^ 2 ((3sqrt3-pi) / 3) + r ^ 2 ((4pi-3sqrt3) / 3) = R ^ 2 ((3sqrt3-3sqrt3-pi + 4pi) / 3) = R ^ 2 ((3pi) / 3) pir ^ # 2 =incircle alanıyla eşdeğerdir.

Cevap:

Açıklama:

Eşkenar üçgen için ağırlık merkezi, daire halkası merkezi ve ortosenter çakışıyor.

Böylece cicumcircle (R) yarıçapı ve incircle (r) yarıçapı aşağıdaki ilişkiye sahip olacaktır.

# R: r = 2: 1 => R '= 2r #

Şimdi rakamdan açıktır ki BÜYÜK mor gölgeli bölgenin alanı# = 1/3 (PIR ^ 2-delta) #

Ve KÜÇÜK mor gölgeli bölgenin alanı# = 1/3 (Delta-pir ^ 2) #

nerede #Delta # eşkenar üçgenin alanını temsil eder.

Yani

#color (purple) ("BÜYÜK ve KÜÇÜK mor gölgeli bölgenin TOPLAM alanı" #

# = 1/3 (PIR ^ 2-delta) +1/3 (Delta-pir ^ 2) #

# = 1/3 (PIR ^ 2-cancelDelta + cancelDelta-pir ^ 2) #

R = 2r eklemek

# = 1/3 (pi (2r) ^ 2-pir ^ 2) #

# = 1/3 (4pir ^ 2-pir ^ 2) #

# = 1 / cancel3xxcancel3pir ^ 2 #

# = pir ^ 2-> color (orange) "Sarı çizgili dairenin alanı" #