Sin ^ 4x -cos ^ 4x = cos3x Bunu çözebilir misiniz?

Cevap:

# x = pi / 5 #

#x = (3pi) / 5 #

# x = pi #

Açıklama:

Sahibiz:

# (günah ^ 2x + cos ^ 2x) (günah ^ 2x - cos ^ 2x) = cos (3x) #

# 1 (günah ^ 2x - cos ^ 2x) = cos (3x) #

# -cos (2x) = cos (3x) #

# 0 = cos (3x) + cos (2x) #

# 0 = cos (2x) cos (x) - günah (2x) sinx + cos (2x) #

# 0 = (2cos ^ 2x -1) cosx-2sinxcosxsinx + 2cos ^ 2x- 1 #

# 0 = 2cos ^ 3x - cosx - 2sin ^ 2xcosx + 2cos ^ 2x - 1 #

# 0 = 2cos ^ 3x- cosx - 2 (1- cos ^ 2x) cosx + 2cos ^ 2x - 1 #

# 0 = 2cos ^ 3x - cosx - 2 (cosx - cos ^ 3x) + 2cos ^ 2x - 1 #

# 0 = 2cos ^ 3x- cosx- 2cosx + 2cos ^ 3x + 2cos ^ 2x- 1 #

# 0 = 4cos ^ 3x + 2cos ^ 2x - 3cosx -1 #

let #u = cosx #.

# 0 = 4u ^ 3 + 2u ^ 2-3u - 1 #

Bunu görüyoruz #u = -1 # bir faktördür. Sentetik bölümü kullanarak

# 0 = (x + 1) (4x ^ 2 - 2x - 1) #

Denklem # 4x ^ 2 - 2x - 1 = 0 # ikinci dereceden formül kullanılarak çözülebilir.

#x = (2 + - sqrt (2 ^ 2 - 4 * 4 * -1)) / (2 * 4) #

#x = (2 + - sqrt (20)) / 8 #

#x = (1 + - sqrt (5)) / 4 #

#x ~~ 0.809 veya -0.309 #

Dan beri #cosx = u #aldık #x = pi / 5, (3pi) / 5 # ve # Pi #.

Nerede # N # bir tam sayı.

Grafiği # y_1 = günah ^ 4x- cos ^ 4x # ve # y_2 = cos (3x) # çözümlerin kesişme noktaları olduğunu onaylar.

Umarım bu yardımcı olur!

Cevap:

#x = (2k + 1) pi #

#x = ((2k - 1) pi) / 5 #

Açıklama:

# sin ^ 4x - cos ^ 4 x = cos 3x #

# (günah ^ 2 x + cos ^ 2 x) (günah ^ 2 x - cos ^ 2 x) = cos 3x #

# 1 (günah ^ 2 x - cos ^ 2 x) = cos 3x #

# -cos 2x = cos 3x #veya

#cos 3x = - cos 2x = cos (2x + pi) #

Birim daire ve cos, ver ->

# 3x = + - (2x + pi) + 2kpi #

a. # 3x = 2x + pi + 2kpi #

#x = (2k + 1) pi #

Eğer k = 0 -> #x = pi #

b. # 3x = - 2x - pi + 2kpi #

# 5x = (2k - 1) pi #, #x = ((2k - 1) pi) / 5 #

Eğer k = 1 -> #x = pi / 5 #.

Eğer k = 0 -> #x = - pi / 5 #veya #x = (9pi) / 5 # (Ko-terminali)

Eğer k = 2 -> #x = (3pi) / 5 #

Kapalı aralıkta 0, 2pi, cevaplar:

# 0, (pi) / 5, (3pi) / 5, pi, (9pi) / 5 #

Hesap makinesi ile kontrol edin.

#x = pi / 5 = 36 ^ @ # --> # sin ^ 4 x = 0,119 # --> # cos ^ 4 x = - 0,428 # -> çünkü 3x = - 309.

# sin ^ 4 x - cos ^ 4 x = 0,119 - 0,428 = - 309 #. Kanıtlanmış

#x = (9pi) / 5 # --># sin ^ 4 x = 0,119 # --> # cos ^ 4 x = 0,428 # -->

# sin ^ 4 x - cos ^ 4 x = - 0,309 #

#cos 3x = cos 972 = - 0.309 #. Kanıtlanmış

Cevap:

# rarrx = (2n + 1) pi / 5, (2n + 1) pi # # NrarrZ #

Açıklama:

# Rarrsin ^ 4x-Cos ^ 4x = cos3x #

#rarr (sin ^ 2x + cos ^ 2x) (sin ^ 2x Cos ^ 2x) = cos3x #

# Rarr-cos2x = cos3x #

# Rarrcos3x + cos2x = 0 #

# Rarr2cos ((3x + 2x) / 2)) * cos ((3x-2x) / 2)) = 0 #

#rarrcos ((5x) / 2) * cos (x / 2) = 0 #

ya #cos ((5x) / 2) 0 # =

#rarr (5x) / 2 = (2n + 1) pi / 2 #

# Rarrx = (2n + 1) pi / 5 # # NrarrZ #

#rarrcos (x / 2) = 0 #

# Rarrx / 2 = (2n + 1) pi / 2 #

# Rarrx = (2n + 1) pi # # Nrarr #

Cevap:

Genel çözüm, üçlü açı formülünü gerektirmez ve

# x = 180 ^ yaklaşık + 360 ^ yaklaşık k # veya # x = 36 ^ circ + 72 ^ circ #

tamsayı için # K.

Açıklama:

Bir soruyu kendim çözmeden önce diğer kişilerin cevaplarını okumaktan hoşlanmıyorum. Ancak bunun için öne çıkan bir cevap çıktı. Hızlı bakışımda, bana nispeten kolay bir soru gibi görünen şey için oldukça karmaşık göründüğünü fark etmeme yardımcı olamadım. Bir şans vereceğim.

#sin ^ 4 x - cos ^ 4 x = cos 3x #

# (günah ^ 2 x + cos ^ 2 x) (günah ^ 2 x - cos ^ 2 x) = cos 3x #

# -cos 2x = cos 3x #

#cos (180 ^ circ - 2x) = cos 3x #

Birkaç hafta boyunca Socratic'dayım ve bu benim temam olarak ortaya çıkıyor: #cos x = çünkü bir # olduğu #x = pm a + 360 ^ yaklaşık k quad # tamsayı için # K. #

# 180 ^ circ - 2x = pm 3x + 360 ^ yaklaşık k #

# -2x pm 3x = -180 ^ yaklaşık + 360 ^ yaklaşık k #

İşaretleri ayrı alıyoruz. Artı önce:

# x = -180 ^ circ + 360 ^ circ k = 180 ^ circ + 360 ^ circ k #

Sıradaki eksi.

# -5x = -180 ^ circ + 360 ^ circ k #

# x = 36 ^ circ + 72 ^ circ #

Bunları yakından okursanız, manipüle etme yöntemimle ilgili bir hata yaptığımı düşünebilirsiniz. # K. Ama o zamandan beri # K Tüm tamsayılar, ikameler gibi #k - -k # ve #k - k + 1 # izin verilir ve işaretleri tutmak için bunları kaydırırım. #+# ne zaman olabilirler.

Kontrol:

Kontrol etmek için bir çift seçelim. Ben bilmek için yeterince geeky #cos 36 ^ circ # Altın Oranın yarısı, ancak bunları tam olarak çözmeyeceğim, emin olmak için onları Wolfram Alpha'ya yerleştireceğim.

# x = 36 ^ circ + 72 ^ circ = 108 ^ circ #

# sin ^ 4 108 - cos ^ 4 108 - cos (3 * 108) = 0 dört kare #

# x = 180 - 2 (360) = -540 #

#sin ^ 4 (-540) - cos ^ 4 (-540) - cos (3 * -540) = 0 dört kare #