F (x) = int e ^ xcosx-tan ^ 3x + sinx dx, f (pi / 6) = 1 ise nedir?

Cevap:

# E ^ x / 2 (sin (x) + cos (x)) - ln | cos (x) | -1 / 2 sn ^ 2 (x) -cos (x) + 5/3 + SQRT3 / 2- (1 / 4 + SQRT3 / 4) e ^ (pi / 6) + ln (SQRT3 / 2) #

Açıklama:

İntegrali ikiye bölerek başlıyoruz:

#int e ^ xcos (x) dx-int tan ^ 3 (x) dx + int sin (x) dx = #

# = int e ^ xcos (x) dx-int tan ^ 3 (x) dx-cos (x) #

Sol integral İntegral 1 ve sağ entegral 2 diyeceğim

İntegral 1

Burada parçalarla entegrasyona ve küçük bir numaraya ihtiyacımız var. Parçalarla entegrasyon için formül:

#int f (x) g '(x) dx = f (x) g (x) -int f' (x) g (x) dx #

Bu durumda izin vereceğim #f (x) = E ^ x # ve #g '(x) = cos (x) #. Bunu anlıyoruz

#f '(x) = E ^ x # ve #g (x) = sin (x) #.

Bu bizim integralimizi yapar:

#int e ^ xcos (x) dx = e ^ xsin (x) -int e ^ xsin (x) dx #

Şimdi entegrasyonu bölümler halinde tekrar uygulayabiliriz, ancak bu sefer #g '(x) = sin (x) #:

#int e ^ xcos (x) dx = e ^ xsin (x) - (- e ^ xcos (x) - (- int e ^ xcos (x) dx)) #

#int e ^ xcos (x) dx = e ^ xsin (x) + e ^ xcos (x) -int e ^ xcos (x) dx #

Artık integrali her iki tarafa da ekleyebiliriz:

# 2int e ^ xcos (x) dx = e ^ xsin (x) + e ^ xcos (x) #

#int e ^ xcos (x) dx = 1/2 (e ^ xsin (x) + e ^ xcos (x)) + C = #

# = E ^ x / 2 (sin (x) + cos (x)) + C #

İntegral 2

İlk önce kimliği kullanabiliriz:

#tan (teta) = sin (teta) / cos (teta) #

Bu verir:

#int tan ^ 3 (x) dx = int sin ^ 3 (x) / cos ^ 3 (x) dx = int (sin (x) sin ^ 2 (x)) / cos ^ 3 (x) dx #

Şimdi pisagor kimliğini kullanabiliriz:

# Sin ^ 2 (teta) = 1 Cos ^ 2 (teta) #

#int (sin (x) (1-cos ^ 2 (x))) / cos ^ 3 (x) dx #

Şimdi bir u-ikame ile tanıtabiliriz. # U = (x) # cos. Daha sonra türev ile bölmek, # -Sin (x) # saygı ile bütünleşmek # U #:

# -int (iptal et (günah (x)) (1-cos ^ 2 (x))) / (iptal (günah (x)) cos ^ 3 (x)) du = -int (1-u ^ 2) / u ^ 3 du = int u ^ 2 / u ^ 3-1 / u ^ 3 du = #

# = int 1 / u-1 / u ^ 3 du = ln | u | + 1 / (2u ^ 2) + C = ln | cos (x) | + 1 / (2cos ^ 2 (x)) + C #

Orijinal integralin tamamlanması

Artık İntegral 1 ve Integral 2'yi öğrendiğimize göre, onları tekrar orijinal integraline bağlayabilir ve son cevabı elde etmek için basitleştirebiliriz:

# E ^ x / 2 (sin (x) + cos (x)) - ln | cos (x) | -1 / 2 sn ^ 2 (x) -cos (x) +, C #

Artık antidevirici olduğunu biliyoruz, sabit için çözebiliriz:

#f (pi / 6) = 1 #

# E ^ (pi / 6) / 2 (sin (pi / 6) + cos (pi / 6)) - ln | Cos (pi / 6) | -1 / 2 sn ^ 2 (pi / 6) -cos (p / 6) + c = 1 #

# -2/3-sqrt (3) / 2 + 1/2 (1/2 + SQRT (3) / 2) E ^ (pi / 6) -ln (sqrt (3) / 2) + C = 1 #

# C = 1 + 2/3 + SQRT3 / 2- (1/4 + SQRT3 / 4) e ^ (pi / 6) + ln (SQRT3 / 2) #

# C = 5/3 + SQRT3 / 2- (1/4 + SQRT3 / 4) e ^ (pi / 6) + ln (SQRT3 / 2) #

Bu, fonksiyonumuzun:

# E ^ x / 2 (sin (x) + cos (x)) - ln | cos (x) | -1 / 2 sn ^ 2 (x) -cos (x) + 5/3 + SQRT3 / 2- (1 / 4 + SQRT3 / 4) e ^ (pi / 6) + ln (SQRT3 / 2) #