Öğrencilerin elipslerle standart biçimde yaptıkları ortak hatalar nelerdir?

Bir elipsin standart formu (öğrettiğim gibi): #, (X-s) ^ 2 / a ^ 2 + (y-k) ^ 2 / b ^ 2 = 1 #.

(h, k) merkezdir.

"a" mesafesi = yatay uç noktaları bulmak için merkezden ne kadar sağa / sola hareket etmek.

mesafe "b" = dikey uç noktaları bulmak için merkezden ne kadar yukarı / aşağı hareket edersiniz.

Bence sık sık öğrenciler yanlışlıkla bunu düşünürler. # Bir ^ 2 # Uç noktaları bulmak için merkezden ne kadar uzağa gideceğimizdir. Bazen, bu seyahat etmek için çok büyük bir mesafe olacaktır!

Ayrıca, bazen öğrencilerin bu formülleri problemlerine uygularken yanlışlıkla sağ / sol yerine yukarı / aşağı hareket ettiğini düşünüyorum.

İşte konuşmak için bir örnek:

#, (X-1) ^ 2/4 + (y + 4) ^ 2/9 = 1 #

Merkez (1, -4). Yatay bitiş noktalarını (3, -4) ve (-1, -4) 'te sağa ve sola hareket ettirmelisiniz "a" = 2 birim. (resme bakın)

Dikey uç noktaları (1, -1) ve (1, -7) 'de elde etmek için "b" = 3 birim yukarı ve aşağı hareket etmelisiniz. (resme bakın)

Bir <b olduğundan, ana eksen dikey yönde olacaktır.

A> b ise, ana eksen yatay yönde olacaktır!

Elipslerle ilgili başka bir bilgi bulmanız gerekiyorsa, başka bir soru sorun!

(Olup olmadığına dair karışıklık # Bir # ve # B # ana / küçük yarıçapları veya # X #- & • y #-radii)

Bir elips için standart form olduğunu hatırlayın kökeni merkezli olduğu

# x ^ 2 / (a ^ 2) + y ^ 2 / b ^ 2 = 1 #

Zaten, ancak, bazıları yukarıda listelenen formülü ile ilgilenecektir. Bazı düşünce okulları bunu tutar. # Bir # her zaman daha büyük olmalı # B # ve böylece ana yarıçapın uzunluğunu gösterir (ana yarıçap dikey yönde uzansa bile, • y ^ 2 / a ^ 2 # böyle bir durumda), diğerleri ise her zaman # X #-radius (bile olsa # X #-radius küçük yarıçapıdır).

Aynı şey için de geçerlidir # B #tersi olsa da. (yani bazıları buna inanıyor) # B # her zaman küçük yarıçap olmalıdır ve diğerleri, her zaman bunun olması gerektiğine inanır. • y #-radius).

Eğitmeninizin (veya kullandığınız programı) hangi yöntemi tercih ettiğinizi bildiğinizden emin olun. Güçlü bir tercih yoksa, o zaman kendin için karar ver. kararınla tutarlı ol. Aklınızı ödev boyunca yarıda değiştirmek, her şeyi net hale getirecek ve aklınızı tek bir yarıda değiştirecek. sorun sadece hatalara yol açacaktır.

(Yarıçap / eksen karışıklığı)

Elipslerdeki hataların çoğunluğu, hangi yarıçapın büyük ve hangisinin küçük olduğu konusundaki bu karışıklıktan kaynaklanıyor gibi görünmektedir. Ana yarıçapı ana eksenle (veya küçük eksenle küçük yarıçapı) karıştırırsa diğer olası hatalar ortaya çıkabilir. Ana (veya küçük) eksen, esasen ana (veya küçük) çap olduğu için, ana (veya küçük) yarıçapın iki katına eşittir. Bu karışıklığın gerçekleştiği adıma bağlı olarak, bu, elips için ölçekte ciddi hatalara yol açabilir.

(Yarıçapı / yarıçapı kare karışıklık)

Benzer bir hata, öğrenciler paydaları unutursa (# a ^ 2, b ^ 2 #) yarıçapların kareleridir, yarıçapların kendileri değildir. Böyle bir problemi olan bir öğrenciyi görmek nadir değildir. # x ^ 2/9 + y ^ 2/4 = 1 # elips çizmek # X #-radius 9 ve • y #-radius 4. Ayrıca, yukarıdaki hata ile birlikte (çap için yarıçapı karıştırarak) ortaya çıkabilir, yukarıdaki denklemde ana çapı 9 olan bir elips çizen bir öğrenci gibi sonuçlara yol açar (ve böylece ana yarıçap 4.5), doğru majör çapı 6 yerine (ve majör yarıçapı 3).

(Hiperbol ve elips karmaşası) UYARI: Cevap oldukça uzundur

Bir başka elips sıklığı, biri elipsin formülünü yanlış hatırlarsa oluşur. Spesifik olarak, bu hatalardan en yaygın olanı, biri elips formülü ile hiperboller için olan kargaşayı karıştırdığında ortaya çıkar. # x ^ 2 / a ^ 2 -y ^ 2 / b ^ 2 = 1 # veya # y ^ 2 / b ^ 2 - x ^ 2 / a ^ 2 = 1 # orijinde merkezlenmiş olanlar için, yine yukarıda listelenen eksen etiketleme kurallarına tabi). Bunun için elipslerin ve hiperbollerin konik bölümler olarak tanımlanmasını hatırlamaya yardımcı olur.

Spesifik olarak, bir elipsin iki odakla ilgili noktaların odağı olduğunu hatırlayın # f_1 & f_2 # Ana eksen boyunca, rastgele bir nokta için # P # mahal üzerinde # P # için # F_1 # (etiketli # D_1 #) artı mesafeden # P # için # F_2 # (etiketli # D_2 #) majör yarıçapın iki katına eşittir (yani # Bir # Ana yarıçap, # d_1 + d_2 = 2a #). Ayrıca, merkezden bu odakların herhangi birine olan uzaklığı (bazen denir) yarım odak ayırma veya doğrusal eksantriklik) varsayılarak # Bir # ana yarıçap, eşittir #sqrt (a ^ 2-b ^ 2) #.

Aksine, bir hiperbol iki noktayla ilişkili noktaların konumudır, bir nokta için # P # mahalde, mutlak değer fark noktanın birinci odağa olan mesafesi ile noktanın ikinci odağa olan mesafesi arasındaki mesafe ana yarıçapın iki katına eşittir (yani # Bir # ana yarıçap, # | d_1 - d_2 | = 2a #). Dahası, hiperbolün merkezinden bu odakların herhangi birine olan uzaklığı (yine, bazen doğrusal eksantriklik olarak adlandırılır ve yine de varsayılır) # Bir # majör yarıçapı) eşittir #sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) #.

Genel olarak konik bölümlerin tanımlarına ilişkin acayiplik # E # Bir bölümün bir daire olup olmadığını belirler (# E = 0 #), elips (# 0 <e <1 #), parabol (# E = 1 #) veya hiperbol (#e> 1 #). Elipsler ve hiperboller için eksantriklik, doğrusal eksantrikliğin ana yarıçapın uzunluğuna oranı olarak hesaplanabilir; Böylece, bir elips için bu olacak #e = sqrt (a ^ 2-b ^ 2) / a = sqrt (1 - b ^ 2 / a ^ 2) # (ve dolayısıyla mutlaka 1'den az) ve bir hiperbol için #e = sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) / a = sqrt (1 + b ^ 2 / a ^ 2) # (ve dolayısıyla mutlaka 1'den büyük).