Bir eşkenar üçgende yazılı bir dairenin yarıçapı 2'dir. Üçgenin çevresi nedir?

Cevap:

Çevre eşittir # 12sqrt (3) #

Açıklama:

Bu sorunu çözmenin birçok yolu vardır.

İşte onlardan biri.

Bir üçgenin içine yerleştirilmiş bir dairenin merkezi, açılarının bisektörlerinin kesişme noktasında bulunur. Eşkenar üçgen için bu, rakımların ve medyanların da kesiştiği noktadır.

Herhangi bir medyan, diğer medyanlarla orantılı bir kesişme noktasına bölünür. #1:2#. Bu nedenle, söz konusu eşkenar üçgenin medyan, irtifa ve açı bisektörleri eşittir

#2+2+2 = 6#

Şimdi irtifa / ortanca / açı bisektörünü biliyorsak, bu üçgenin bir tarafını bulmak için Pisagor teoremini kullanabiliriz.

Eğer bir taraf # X #, Pisagor teoreminden

# x ^ 2 - (x / 2) ^ 2 = 6 ^ 2 #

Bundan:

# 3x ^ 2 = 144 #

#sqrt (3) X = 12 #

#x = 12 / sqrt (3) = 4sqrt (3) #

Çevre, bu üç tarafa eşittir:

# 3x = 12sqrt (3) #.

Cevap:

Çevre eşittir # 12sqrt (3) #

Açıklama:

Alternatif yöntem aşağıdadır.

Diyelim ki eşkenar üçgenimiz #Delta ABC # ve yazılı bir dairenin merkezi #O#.

Köşeden bir medyan / irtifa.angle bisector çizin # A # noktadan #O# yan kesişene kadar #MİLATTAN ÖNCE# noktada # M #. Açıkçası, # OM = 2 #.

Üçgen düşünün #Delta OBM #.

Onun sağ dan beri #OM_ | _BM #.

Açı # / _ OBM = 30 ^ O # dan beri #BÖ# açılı bir bisector olduğunu #/_ABC#.

Yan # BM # tarafın yarısı #MİLATTAN ÖNCE# dan beri # AM # bir medyandır.

Şimdi bulabiliriz # OB # bir dik açıda bir hipotenüs olarak bir akut açı eşittir 30. ^ O # ve buna eşit olan katetus #2#. Bu hipotenüs, bu kateterin iki katı, yani #4#.

Hipotenüs olmak # OB # ve kateter # OM #, başka bir kateter bul # BM # Pisagor Teoremi tarafından:

# BM ^ 2 = OB ^ 2 - OM ^ 2 = 16-4 = 12 #

Bu nedenle,

# BM = sqrt (12) = 2sqrt (3) #

#BC = 2 * BM = 4sqrt (3) #

Çevre

# 3 * BC = 12sqrt (3) #