F (x) = ln x fonksiyonunun son davranışı nedir?

#f (x) = ln (x) -> infty # gibi # x -> infty # (#ln (x) # bağlı olmadan büyür # X # bağlı olmadan büyür) ve #f (x) = ln (x) -> - infty # gibi #x -> 0 ^ {+} # (#ln (x) # negatif yönde bağlı olmadan büyür # X # sağdan sıfıra yaklaşır).

İlk gerçeği kanıtlamak için, temelde, artan işlevlerin olduğunu göstermeniz gerekir. #f (x) = ln (x) # gibi yatay asimptot yok # x -> infty #.

let #M> 0 # Olumlu bir rakam veriniz (ne kadar büyük olursa olsun). Eğer # x> E ^ {M} #, sonra #f (x) = İn (x)> ln (e ^ {M}) = M # (dan beri #f (x) = İn (x) # artan bir işlevdir). Bu herhangi bir yatay çizgi olduğunu kanıtlar • y = M # yatay asimptot olamaz #f (x) = ln (x) # gibi # x -> infty #. Bu gerçeği #f (x) = ln (x) # artık artan bir işlev #f (x) = ln (x) -> infty # gibi # X-> infty #.

İkinci gerçeği kanıtlamak için #M> 0 # Herhangi bir pozitif sayı olması, # -M <0 # verilen herhangi bir negatif sayıdır (sıfırdan ne kadar uzak olursa olsun). Eğer # 0 <x <e ^ {- M} #, sonra #f (x) = İn (x) < ln (e ^ {- E}) = - M # (dan beri #f (x) = İn (x) # artıyor). Bu kanıtlıyor #f (x) = ln (x) # herhangi bir yatay çizginin altına düşerse # 0 <x # sıfıra yeterince yakın. Bunun anlamı #f (x) = ln (x) -> - infty # gibi #x -> 0 ^ {+} #.