Soru # 27939

Cevap:

Sudip Sinha'nın işaret ettiği gibi # -1 + sqrt3i # sıfır değil. (Bunu kontrol etmeyi ihmal ettim.) Diğer sıfırlar # 1-sqrt3 ben # ve #1#.

Açıklama:

Tüm katsayılar gerçek sayılar olduğundan, herhangi bir hayali sıfırın eşlenik çiftler halinde gerçekleşmesi gerekir.

Bu nedenle, # 1-sqrt3 ben # sıfır.

Eğer # C # sıfır # Z-C # bir faktördür, bu yüzden çarpabiliriz

# (z- (1 + sqrt3 i)) (z- (1-sqrt3 i)) # almak # Z ^ 2-2z + 4 #

ve sonra böl #P (Z) # bu ikinci dereceden

Ancak, olası rasyonel sıfır için düşünmek daha hızlıdır. # P # ilk. Veya bunu görmek için katsayıları ekleyin #1# ayrıca bir sıfırdır.

Cevap:

#1# ve # 1 - sqrt3 i #

Açıklama:

Sorunuzda bir hata var. Kök olmalı # 1 + sqrt3 i #. Bunu ifadeye değeri koyarak doğrulayabilirsiniz. Kök ise, ifade sıfıra göre değerlendirilmelidir.

İfadenin tüm gerçek katsayıları vardır, bu nedenle Karmaşık Eşlenik Kökler Teoremi (http://en.wikipedia.org/wiki/Complex_conjugate_root_theorem) tarafından diğer karmaşık kökün var # 1 - sqrt3 i #, Açıkçası, üçüncü kök # Bir #) karmaşık bir eşlenik olamayacağı için gerçek olmalı; Aksi takdirde, 3. derece bir denklem için mümkün olmayan 4 kök olacaktır.

Not

# (z - (1 - sqrt3 i)) (z - (1 + sqrt3 i)) #

# = ((z - 1) + sqrt3 i) ((z - 1) - sqrt3 i) #

# = ((z - 1) ^ 2 - (sqrt3 i) ^ 2) # (Dan beri # (z + a) (z - a) = z ^ 2 - a ^ 2 #.)

# = z ^ 2 - 2z + 1 - 3 (-1) #

# = z ^ 2 - 2z + 4 #

İfadede bu faktörü elde etmeye çalışacağız.

Yazabiliriz:

# P (z) = z ^ 3 - 3z ^ 2 + 6z - 4 #

# = z (z ^ 2 - 2z + 4) - 1 (z ^ 2 - 2z + 4) #

# = (z - 1) (z ^ 2 - 2z + 4) #

# = (z - 1) (z - (1 - sqrt3 i)) (z - (1 + sqrt3 i)) #

Cevap:

Bir giriş olarak, kök olması gerektiğini düşünüyorum #color (mavi) (+ SQRT3 1) # ve yok #color (kırmızı) (- + SQRT3 1) #

Bu temelde benim cevabım:

{1, # "" 1 + sqrt3 ", #" 1-sqrt3} #

Açıklama:

Fikrini kullanarak karmaşık eşlenikler ve diğer bazı serin hileler.

#P (Z) # derece polinomu #3#. Bu, sadece olması gereken anlamına gelir #3# kökler.

Karmaşık köklerle ilgili ilginç bir gerçek, asla yalnız olmadıklarıdır. eşlenik çiftler.

Öyleyse # 1 + isqrt3 # bir kök, sonra konjugatıdır: 1.-isqrt3 # kesinlikle bir de kök!

Ve bir tane daha kök kaldığı için o kök diyebiliriz. # Z = bir #.

Karmaşık bir sayı değildir çünkü karmaşık kökler her zaman çiftler halinde ortaya çıkar.

Ve bu sonuncusu olduğu için #3# kökleri, birinciden sonra başka bir çift olamaz!

Sonunda faktörleri #P (Z) # kolayca olduğu bulundu # z- (1 + isqrt3) "," z- (1-isqrt3) "ve" (z-a) #

NB: Bir kök ile bir faktör arasındaki farkın şu olduğuna dikkat edin:

- Bir kök olabilir # Z = 1 + i #

Ancak ilgili faktör olacaktır # Z- (1 + i) #

İkinci numara, faktoring yaparak olmasıdır. #P (Z) # şöyle bir şey almalıyız:

#P (z) = z- (1 + isqrt3) z- (1-isqrt3) (z-a) #

Sonra, diş tellerini genişletin, #P (z) = z ^ 2-z (1 + isqrt3 + 1-isqrt3) + (1 + isqrt3) (1-isqrt3) (z-a) #

# = z ^ 2-z (2) + (1 + 3) (z-a) #

# = z ^ 2-2z + 4 (z-a) #

# = Z ^ 3 + z ^ 2 (a-2) '+ z (2a + 4) -4a #

Sonra, bunu orijinal polinom ile eşleştiriyoruz #P (z) = z ^ 3-3z ^ 2 + 6z-4 #

# => Z ^ 3 + z ^ 2 (a + 2) + z (-2a + 4) -4a = Z ^ 3-3z ^ 2 + 6z-4 #

İki polinom aynı olduğundan, katsayılarını eşitliyoruz. # Z ^ 3 #, # Z ^ 2 #, # Z ^ 1 #ve # Z ^ 0 #(sabit terim) her iki tarafta,

Aslında, sadece bir denklem seçmemiz ve çözmemiz gerekiyor # Bir #

Sabit terimleri eşitlemek, # => - 4a = -4 #

# => A = 1 #

Dolayısıyla son kök #color (mavi) (Z = 1) #