Alanı bulmak için Heron'un formülünü ne zaman kullanırsın?

Bir üçgenin her üç tarafının uzunluklarını bildiğiniz zaman kullanabilirsiniz.

Umarım bu yardımcı oldu.

Cevap:

Heron'un Formülü neredeyse her zaman kullanmak için yanlış formül; Arşimet Teoremi'ni alanı olan bir üçgen için deneyin # A # ve taraflar #ABC#:

# 16A ^ 2 = 4a ^ 2b ^ 2 - (a ^ 2 + b ^ 2 - c ^ 2) ^ 2 #

#quad = (a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2) ^ 2 - 2 (a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4) #

#quad = (a + b + c) (- a + b + c) (a-b + c) (a + b-c) #

# quad = 16'lar (s-a) (s-b) (s-c) # nerede #, S = 1/2 (a + b + c) '#

Bu son ince örtülü Heron.

Açıklama:

İskenderiye Kahramanı MS birinci yüzyılda yazdı. Neden daha güzel, modern eşdeğerleri varken, sonuçuyla öğrencilere işkence yapmaya devam ediyoruz, hiçbir fikrim yok.

Heron'un bölge formülü # A # kenarları olan bir üçgenin #ABC# olduğu

# A = sqrt {s (s-a) (s-b) (s-c)} # nerede #, S = 1/2 (a + b + c) '# semiperimetredir.

Hiç şüphe yok ki bu formül müthiş. Ancak kesir ve koordinatlardan başlıyorsak dört kare kökünden dolayı kullanmak çok garip.

Sadece matematik yapalım. Kare alıyoruz ve yok ediyoruz # s # hangi çoğunlukla gizlemek için #16# ve önemli bir faktörleşme. Önce kendin denemek isteyebilirsin.

# A ^ 2 = 1/2 (a + b + c) (1/2 (a + b + c) -a) (1/2 (a + b + c) -b) (1/2 (a + b + c) -c) #

# A ^ 2 = 1/2 (a + b + c) (1/2 (-a + b + c)) (1/2 (a-b + c)) (1/2 (a + bc)) #

# 16A ^ 2 = (a + b + c) (- a + b + c) (a-b + c) (a + b-c) #

Bu zaten Heron'un formundan çok daha iyi. Kesirleri sonuna kadar kurtardık ve semiperimetrenin anlamını merak etmedik.

Dejenere vaka anlatıyor. Eksi işaretli bu faktörlerden biri sıfır olduğunda, iki taraf tam olarak diğer tarafa katılır. Bunlar üç ortak nokta, yozlaşmış üçgen arasındaki mesafelerdir ve sıfır alan elde ederiz. Mantıklı.

# A + b + c # faktör ilginç. Bize anlattığı şey, bu formülün, her şey yerine pozitif yerine yer değiştirmeleri, imzalı uzunlukları kullanırsak hala işe yaradığıdır.

Formül verilen koordinatları kullanmak için hala garip. Hadi çarpalım. kendin denemek isteyebilirsin;

# 16A ^ 2 = (a + b + c) (- a + b + c) (a-b + c) (a + b-c) #

# = (-a ^ 2-ab-ac + ab + b ^ 2 + bc + ac + bc + c ^ 2) (a ^ 2-ab + ac + ab + b ^ 2 + bc -ac + bc-c ^ 2) #

# = (-a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + 2bc) (a ^ 2 - b ^ 2-c ^ 2 + 2bc) #

# = (-a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + 2bc) (a ^ 2 - b ^ 2-c ^ 2 + 2bc) #

# 16A ^ 2 = 2 (a ^ 2 b ^ 2 + a ^ 2 c ^ 2 + b ^ 2 c ^ 2) - (a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4) #

Bu form sadece uzunlukların karelerine bağlıdır. Açıkça tamamen simetrik. Şimdi Heron'un ötesine gidip diyebiliriz. kare uzunluklar rasyoneldir, kare alanı da öyledir.

Ama dikkat edersek daha iyisini yapabiliriz

# (a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2) ^ 2 = (a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4) +2 (a ^ 2b ^ 2 + a ^ 2c ^ 2 + b ^ 2c ^ 2) #

Çıkarma,

# 16A ^ 2 = (a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2) ^ 2 - 2 (a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4) #

Bu en güzel form.

Genellikle en faydalı olan asimetrik görünümlü bir formu vardır. Biz not

# (a ^ 2 + b ^ 2 - c ^ 2) ^ 2 = (a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4) -2 (-a ^ 2b ^ 2 + a ^ 2c ^ 2 + b ^ 2c ^ 2) #

Bunu eklemek

# 16A ^ 2 = 2 (a ^ 2 b ^ 2 + a ^ 2 c ^ 2 + b ^ 2 c ^ 2) - (a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4) #

# 16A ^ 2 = 4a ^ 2b ^ 2 - (a ^ 2 + b ^ 2 - c ^ 2) ^ 2 #

Bu en kullanışlı form. Yazmanın, tarafları değiştirmenin gerçekten üç yolu var.

Topluca bunlara NJ Wildberger Rational Trigonometry'den Arşimet Teoremi adı verilir.

2B koordinatlar verildiğinde, çoğu zaman ayakkabı bağı formülü bölgeye giden en hızlı yoldur, ancak bunu diğer postalar için saklayacağım.