Maclaurin serisinde bu nasıl genişletilir? f (x) = int_0 ^ xlog (1-t) / tdt

Cevap:

#f (x) = -1 / (1 (10)) x + x ^ 2/4 + x ^ 3/9 + x ^ 4/16 + … + x ^ (n + 1) / (n 1) ^ 2 #

Görsel: Bu grafiği kontrol edin

Açıklama:

Öğrendiğimiz düzenli entegrasyon tekniklerinden herhangi birini kullandığı için bu entegrali net olarak değerlendiremiyoruz. Bununla birlikte, kesin bir integral olduğu için, bir MacLaurin serisi kullanabiliriz ve terim terimiyle adlandırılan terimi yapabiliriz.

MacLaurin serisini bulmamız gerekecek. Bu işlevin ilk türevini bulmak istemediğimiz için, onu zaten bildiğimiz MacLaurin serilerinden birine sığdırmaya çalışmamız gerekecek.

İlk olarak, sevmiyoruz # Günlüğü #; bunu yapmak istiyoruz # Ln #. Bunu yapmak için, basit baz formülünün değişimini kullanabiliriz:

#log (x) = ln (x) / ln (10) #

Böylece sahibiz:

# İnt_0 ^ XLN (1-t) / (tln (10)) dt #

Bunu neden yapıyoruz? Peki, şimdi fark et # d / dxln (1-t) = -1 / (1-t) # Bu neden bu kadar özel? İyi, # 1 / (1-x) # bizim yaygın olarak kullanılan MacLaurin serilerimizden biridir:

# 1 / (1-x) = 1 + x + x ^ 2 + x ^ 3 + … = sum_ (n = 0) ^ oox ^ n #

…hepsi için # X # üzerinde #(-1, 1#

Böylece, bu ilişkiyi avantajımıza göre kullanabiliriz ve #ln (1-t) # ile # İnt-1 / (1-t) dt #, bunu değiştirmemize izin veriyor # Ln # Bir MacLaurin serisi ile terimi. Bunu bir araya getirmek şunları verir:

#ln (1-t) / (tln (10)) = -1 / (tln (10)) int 1 + t + t ^ 2 + t ^ 3 + … + t ^ n dt #

İntegrali değerlendirme:

# = -1 / (tln (10)) t + t ^ 2/2 + t ^ 3/3 + t ^ 4/4 + … + t ^ (n + 1) / (n + 1) #

İptal ediliyor # T # paydadaki terim:

# = -1 / (ln (10)) 1 + t / 2 + t ^ 2/3 + t ^ 3/4 + … + t ^ (n) / (n + 1) #

Ve şimdi, soruna başladığımız kesin integrali alıyoruz:

# int_0 ^ x (-1 / (ln (10)) 1 + t / 2 + t ^ 2/3 + t ^ 3/4 + … + t ^ (n) / (n + 1)) dt #

Not: Bu problemde sıfıra bölme konusunda endişe etmemize gerek olmadığını şimdiden gözlemleyin; # T # paydadaki terim. Bu önceki adımda iptal edildiğinden, devamsızlığın çıkarılabilir olduğunu ve bizim için iyi sonuç verdiğini gösteriyor.

# = -1 / (ln (10)) t + t ^ 2/4 + t ^ 3/9 + t ^ 4/16 + … + t ^ (n + 1) / (n + 1) ^ 2 # den değerlendirildi #0# için # X #

# = -1 / (ln (10)) x + x ^ 2/4 + x ^ 3/9 + x ^ 4/16 + … + x ^ (n + 1) / (n + 1) ^ 2 - 0 #

# = -1 / (ln (10)) x + x ^ 2/4 + x ^ 3/9 + x ^ 4/16 + … + x ^ (n + 1) / (n + 1) ^ 2 #

Yine de, bu serinin sadece aralıkta iyi olduğunu anladığınızdan emin olun. #(1, 1#Çünkü yukarıda kullandığımız MacLaurin serisi bu aralıkta sadece yakınsak. Nasıl göründüğü hakkında daha iyi bir fikir edinmek için yaptığım grafiğe göz atın.

Yardımcı oldu umarım:)