Maclaurin e ^ x serisini kullanarak f (t) = (e ^ t - 1) / t için bir Maclaurin serisinin ilk üç terimini nasıl bulursunuz?

Maclaurin serisi biliyoruz ki # E ^ x # olduğu

#sum_ (n = 0) ^ oox ^ n / (n!) #

Maclaurin'in genişlemesini kullanarak da bu diziyi türetebiliriz. #f (x) = sum_ (n = 0) ^ oof ^ ((n)) (0) x ^ n / (n!) # ve tüm türevlerinin # E ^ x # hala # E ^ x # ve # E ^ 0 = 1 #.

Şimdi, yukarıdaki diziyi yerine koymanız yeterlidir.

# (E ^ x-1) / x #

# = (Sum_ (n = 0) ^ oo (x ^ n / (n)) -! 1) / x #

# = (1 + sum_ (n = 1) ^ oo (x ^ n / (n)) -! 1) / x #

# = (Sum_ (n = 1) ^ oo (x ^ n / (n!))) / X #

# = Sum_ (n = 1) ^ oox ^ (n-1) / (n!) #

Dizinin başlamasını istiyorsanız # İ = 0 #, sadece ikame # N = i + 1 #:

# = Sum_ (i = 0) ^ oox ^ i / ((i + 1)!) #

Şimdi, sadece almak için ilk üç terimi değerlendirin

# ~~ 1 + x / 2 + x ^ 2/6 #