Üç karşılıklı dik teğet düzlem düzleminin elipsoid balta ^ 2 + ile ^ 2 + cz ^ 2 = 1'in kesişme noktası tarafından izlenen yolun, elipsoidinkiyle aynı merkezi olan bir küre olduğunu gösterin.

Cevap:

Aşağıya bakınız.

Açıklama:

çağrı # E-> f (x, y, z) = ax ^ 2 + ^ 2 + cz ^ 2-1 = 0 tarafından #

Eğer #p_i = (x_i, y_i, z_i) E # 'de sonra

# Ax_ix + by_iy + cz_iz = 1 # bir düzlem teğet # E # çünkü ortak bir noktaya ve #vec n_i = (ax_i, by_i, cz_i) # normal # E #

let # Pi-> alfa x + beta y + gama z = delta # genel bir teğet ol # E # sonra

# {(x_i = alfa / (bir delta)), (y_i = beta / (bdelta)), (z_i = gama / (c delta)):} #

fakat

# Ax_i ^ 2 + by_i ^ 2 + cz_i ^ 2 = 1 # yani

# A ^ 2 / a + p ^ 2 / b + y ^ 2 / C = ö ^ 2 # ve genel teğet düzlem denklemi

#alpha x + beta y + gama z = pmsqrt (alfa ^ 2 / a + beta ^ 2 / b + gama ^ 2 / c) #

Şimdi üç ortogonal uçak verildi

# Pi_i-> alpha_i x + beta_i y + gama_i z = delta_i #

ve arayarak #vec v_i = (alpha_i, beta_i, gama_i) # ve yapma

#V = ((vec v_1), (vec v_2), (vec v_3)) # seçebiliriz

#V cdot V ^ T = İ_3 #

ve sonuç olarak

# V ^ Tcdot V = 1_3 #

o zaman biz de var

# {(sum_i alpha_i ^ 2 = 1), (sum_i beta_i ^ 2 = 1), (sum_i gamma_i ^ 2 = 1), (sum_i alpha_i beta_i = 0), (sum_i alpha_i gama_i = 0), (sum_i beta_i gamma_i = 0)} #

Şimdi ekleyerek #sum_i (alpha_i x + beta_iy + gamma_iz) ^ 2 # sahibiz

# x ^ 2sum_i alpha_i ^ 2 + y ^ 2sum_i beta_i ^ 2 + z ^ 2sum_i gamma_i ^ 2 + 2 (xy toplamı (alpha_i beta_i) + xzsum (alpha_i gamma_i) + sum (beta_i gamma_i)) = sum_i gama_i ^ 2 #

ve sonunda

# x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = sum_i delta_i ^ 2 #

fakat #sum_i delta_i ^ 2 = sum_ialpha_i ^ 2 / a + sum_ibeta_i ^ 2 / b + sum_igamma_i ^ 2 / c = 1 / a + 1 / b + 1 / c #

yani

# X, ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = 1 / a + 1 / b + 1 / C #

bu üç karşılıklı dik teğet düzlem düzleminin elipsoide kesişme noktası tarafından izlenen yoldur.

Elipsoid için bir komplo ekli

# X, ^ 2 + 2y ^ 2 + 3z ^ 2 = 1 #