F (x, y) = x ^ 2 + xy + y ^ 2 + y'nin ekstrema ve eyer noktaları nelerdir?

Hiçbir eyer noktası bulamadım, ancak minimumda:

#f (1/3, -2 / 3) = -1 / 3 #

Ekstremayı bulmak için, kısmi türevi, # X # ve • y # Her iki kısmi türevinin aynı anda eşit olup olmadığını görmek için #0#.

# ((delf) / (delx)) _ y = 2x + y #

# ((delf) / (dely)) _ x = x + 2y + 1 #

Eşzamanlı olarak eşit olması gerekiyorsa #0#, onlar oluşturur denklem sistemi:

# 2 (2x + y + 0 = 0) #

#x + 2y + 1 = 0 #

Bu doğrusal iptal etmek için çıkarıldığında denklem sistemi • y #, verir:

# 3x - 1 = 0 => renk (yeşil) (x = 1/3) #

# => 2 (1/3) + y = 0 #

# => renk (yeşil) (y = -2/3) #

Denklemlerin doğrusal olması nedeniyle, sadece bir kritik nokta ve dolayısıyla sadece bir ekstremum vardı. İkinci türev bize bunun maksimum mu, minimum mu olduğunu söyleyecektir.

# ((del ^ 2f) / (delx ^ 2)) _ y = ((del ^ 2f) / (dely ^ 2)) _ x = 2 #

Bu ikinci bölümler aynı fikirdeler, bu yüzden grafik boyunca içbükey # X # ve • y # eksenleri.

Değeri #f (x, y) # kritik noktada (tekrar orijinal denkleme takarak):

#renk (yeşil) (f (1/3, -2 / 3)) = (1/3) ^ 2 + (1/3) (- 2/3) + (-2/3) ^ 2 + (- 2/3) #

# = 1/9 - 2/9 + 4/9 - 6/9 = renk (yeşil) (- 1/3) #

Böylece, biz bir asgari arasında #color (mavi) (f (1/3, -2 / 3) = -1/3) #.

Şimdi Çapraz türevleri çapraz yönde olabilecek herhangi bir eyer noktasını kontrol etmek için:

# ((del ^ 2f) / (delxdely)) _ (y, x) = ((del ^ 2f) / (delydelx)) _ (x, y) = 1 #

Bunların her ikisi de aynı fikirde olduğu için, zıt işaretler yerine, eyer noktası yok.

Bu grafiğin sadece nasıl kontrol edildiğini görebiliriz: