Y = (x + 1) ^ 2 / ((x-1) (x-3)) için asimptotları nasıl buluyorsunuz?

Cevap:

Dikey

#, X = 1 #

#, X = 3 #

Yatay

#, X = 1 # (ikisi için de # + - oo #)

eğik

Yok

Açıklama:

let • y = f (x) #

• Dikey asimtotlar

İşlevin sınırlarını sonsuzluk dışındaki sınırlarına bağlı olarak bulun. Eğer sonuçları sonsuzsa, bundan # X # çizgi bir asimptottur. İşte, etki alanı:

#x içinde (-oo, 1) uu (1,3) uu (3, + oo) #

Yani 4 mümkün dikey asimptotlar:

#lim_ (x-> 1 ^ -) f (x) #

#lim_ (x-> 1 ^ +) f (x) #

#lim_ (x-> 3 ^ -) f (x) #

#lim_ (x-> 3 ^ +) f (x) #

asimptot # X-> 1 ^ - #

#lim_ (x-> 1 ^ -) f (x) = lim_ (x-> 1 ^ -) (x + 1) ^ 2 / ((x-1), (x-3)) = 2 ^ 2 / (0 ^ - * (- 2)) = #

# = - 2 ^ 2 / (0 * (- 2)) = 4 / (0 * 2) = 4/0 = + oo # İçin dikey asimptot #, X = 1 #

Not: için # X-1 # dan beri # X # 1'den biraz daha düşükse, sonuç 0'dan biraz daha düşük bir şey olur, bu nedenle işaret negatif olur, bu nedenle not #0^-# bu daha sonra olumsuz bir işaret anlamına gelir.

Asimptot için onay # X-> 1 ^ + #

#lim_ (x-> 1 ^ +) f (x) = lim_ (x-> 1 ^ +) (x + 1) ^ 2 / ((x-1), (x-3)) = 2 ^ 2 / (0 ^ + * (- 2)) = #

# = 2 ^ 2 / (0 * (- 2)) = - 4 / (0 * 2) = - 4/0 = -Oo # onaylı

asimptot # X-> 3 ^ - #

#lim_ (x-> 3 ^ -) f (x) = lim_ (x-> 3 ^ -) (x + 1) ^ 2 / ((x-1), (x-3)) = 3 ^ 2 / (2 * 0 ^ -) = #

# = - 3 ^ 2 / (2 * 0) = - 9/0 = -Oo # İçin dikey asimptot #, X = 3 #

Asimptot için onay # X-> 3 ^ + #

#lim_ (x-> 3 ^ +) f (x) = lim_ (x-> 3 ^ +) (x + 1) ^ 2 / ((x-1), (x-3)) = 3 ^ 2 / (2 * 0 ^) = #

# = 3 ^ 2 / (2 * 0) = 9/0 = + oo # onaylı

• Yatay asimptotlar

Fonksiyonun eğiliminde olduğu gibi her iki limiti de bulun # + - oo #

Eksi sonsuzluk # x -> - oo #

#lim_ (x -> - oo) f (x) = lim_ (x -> - oo) (x + 1) ^ 2 / ((x-1), (x-3)) = #

# = Lim_ (x -> - oo) (x ^ 2 + 1 + 2x) / (x ^ 2-4x-3) = lim_ (x -> - oo) (x ^ 2 (1 + 2 / x + 1 / x ^ 2)) / (x ^ 2 (1-4 / x-3 / x ^ 2)) = #

# = Lim_ (x -> - oo) (iptal (x ^ 2) (1 + 2 / x + 1 / x ^ 2)) / (iptal (x ^ 2) (1-4 / x-3 / x ^ 2)) = lim_ (x -> - oo) (1 + 2 / x + 1 / x ^ 2) / (1-4 / x-3 / x ^ 2) = #

#=(1+0+0)/(1-0-0)=1# İçin yatay asimptot • y = 1 #

Artı sonsuzluk # x -> + oo #

#lim_ (x -> + oo) f (x) = lim_ (x -> + oo) (x + 1) ^ 2 / ((x-1), (x-3)) = #

# = Lim_ (x -> + oo) '(x ^ 2 + 1 + 2x) / (x ^ 2-4x-3) = lim_ (x -> + oo)' (x ^ 2 (1 + 2 / x + 1 / x ^ 2)) / (x ^ 2 (1-4 / x-3 / x ^ 2)) = #

# = Lim_ (x -> + oo) (iptal (x ^ 2) (1 + 2 / x + 1 / x ^ 2)) / (iptal (x ^ 2) (1-4 / x-3 / x ^ 2)) = lim_ (x -> + oo) (1 + 2 / x + 1 / x ^ 2) / (1-4 / x-3 / x ^ 2) = #

#=(1+0+0)/(1-0-0)=1# İçin yatay asimptot • y = 1 #

Not: Sadece bu fonksiyonun her ikisi için de ortak bir yatay olduğu görülür. # -Oo # ve # + Oo #. Her zaman ikisini de kontrol etmelisin.

• Eğik asimptotlar

Önce her iki limiti de bulmalısınız:

#lim_ (x -> + - oo) f (x) / x #

Her biri için, eğer bu limit gerçek bir sayı ise, o zaman asimptot var olur ve limit eğimidir. • y # her birinin kesişmesi sınırdır:

#lim_ (x -> + - oo) (f (x) -m * x) #

Bununla birlikte, sorunumuzu azaltmak için, bunu önlemek için "bilgi" işlevini kullanabilirsiniz. Bildiğimizden beri #f (x) # her ikisi için de yatay asimptot var # + - oo # eğik olmanın tek yolu, başka bir çizgiye sahip olmaktır. # x -> + - oo #. Ancak, #f (x) # bir #1-1# işlev bu yüzden iki olamaz • y # bir değer # X #Bu nedenle ikinci bir satır imkansızdır, bu yüzden eğik asimptotlara sahip olmak imkansızdır.