Trigonometrik sübstitüsyonun sübstitüsyondan farkı nedir?

Cevap:

Genellikle, formun integralleri için trig ikamesi kullanılır # X ^ 2 + -a ^ 2 # veya #sqrt (x ^ 2 + -a ^ 2) #, süre # U #-Sübstitüsyon, bir fonksiyon ve türevi integralde göründüğünde kullanılır.

Açıklama:

Her iki ikame türünü de arkasındaki sebeplerden dolayı çok etkileyici buluyorum. İlk önce, trig ikamesi düşünün. Bu Pisagor Teoremi ve Pisagor Kimliklerinden, muhtemelen trigonometrideki en önemli iki kavramdan kaynaklanmaktadır. Bunu, şöyle bir şeyimiz olduğunda kullanırız:

# X ^ 2 + a ^ 2 -> # nerede # Bir # sabittir

#sqrt (x ^ 2 + a ^ 2) -> # yine varsaymak # Bir # sabittir

Görüyoruz ki bu ikisi çok benziyor. # A ^ 2 + b ^ 2 = C ^ 2 #Pisagor Teoremi. Sağ üçgenin iki tarafını üçgenin hipotenüsüyle ilişkilendirir. Bunu çıkarırsak, evet görebiliriz. # X, ^ 2 + a ^ 2 # bir üçgenle gösterilebilir:

Resim çok faydalı, çünkü bize anlatıyor # Tantheta = X / a #veya # Atantheta = x #; bu, trig ikamesinin temelini oluşturur. Ayrıca (ve burası harika olduğu yer), # X = tantheta # içine # X, ^ 2 + a ^ 2 #, bu durumda bir Pisagor Kimliği ile bitirsin, bu durumda # Kahve renkli ^ 2teta + 1 = sek ^ 2teta #. Sonra bazı basitleştirici işlemleri yapabilirsiniz. # Sn ^ 2teta # eğer ihtiyacınız varsa ve integral dışarıda kolaydır. Aynı davalar için de geçerli # X ^ 2-a ^ 2 #, # Bir ^ 2-x ^ 2 #, #sqrt (x ^ 2-a ^ 2) #, ve #sqrt (a ^ 2-x ^ 2) #.

Trig alt kullanabilirsiniz. iyi bir problem için, ama kullanabilirsiniz. # U #ikame kesinlikle tartışmasız daha fazla. Gibi bir şeyimiz olduğunda bu tekniği kullanırız # İntlnx / Xdx #. Eğer gözlemciyseniz, iki fonksiyonumuz olduğunu görürüz - # LNX # ve 1. / x #. Ve eğer temel türevlerimizi hatırlarsak, biliyoruz # G / dxlnx = 1 / x # için # x> 0 # (veya # G / dxlnabs (x) = 1 / x # için # katı! = 0 #). Yani fikir izin demek # U = # LNX; sonra # (Du) / dx = 1 / x # ve # Du = dx / x #. Sorun, bu ikameleri yaptıktan sonra, # İntudu # - öncekinden çok daha kolay bir integral.

Bu iki teknik farklı olsa da, ikisi de aynı amaca hizmet eder: basit teknikleri forma sokmak, böylece temel teknikleri kullanabilmek. Açıklamamın, bu değişikliklerle ilgili tüm özel ayrıntıları içermeye yetmediğinden eminim, bu yüzden diğerlerini katkıda bulunmaya davet ediyorum.