X ^ 4 + 2x ^ 2 - 2 = 0 denkleminin [0, 1] 'de tek bir çözümü olduğunu gösterin.

Cevap:

Aşağıya bakınız.

Açıklama:

Her şeyden önce, hesaplayalım #f (x) = x ^ 4 + 2 x ^ 2-2 # Alanımızın sınırında:

#f (0) = 0 ^ 4 + 2 * 0 ^ 2-2 = -2 <0 #

#f (1) = 1 ^ 4 + 2 * 1 ^ 2-2 = 1> 0 #

Eğer türevi hesaplarsak

#f '(x) = 4x ^ 3 + 4x = 4x (x ^ 2 + 1) #

Bunun her zaman olumlu olduğunu görebiliriz. #0,1#. Aslında, # X, ^ 2 + 1 # daima olumludur ve # 4x # Açıkçası, olumlu # X # olumlu.

Böylece, fonksiyonumuz aşağıda başlar # X # eksen #f (0) <0 #ve # X # eksen #f (1)> 0 #. İşlev bir polinomdur ve bu nedenle süreklidir.

Sürekli bir çizgi eksenin altında başlayıp yukarıda bitiyorsa, bunun arasında bir yere geçtiği anlamına gelir. Ve türevinin her zaman pozitif olması, işlevin daima büyüdüğü ve bu nedenle ekseni iki kez geçemediği, dolayısıyla da kanıt olduğu anlamına gelir.